ทฤษฎีการอนุรักษ์พลังงานจลน์ ทฤษฎีบทพลังงานจลน์ ลูกบอลสองลูกที่มีมวลเท่ากันกลิ้งเข้าหากันด้วยความเร็วเท่ากันบนพื้นผิวที่เรียบมาก ลูกบอลชนกัน หยุดสักครู่ หลังจากนั้น

การทำงานของแรงลัพธ์ที่กระทำต่อร่างกายเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ของร่างกาย

เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานของแรง (3) พลังงานจลน์ของร่างกายจึงแสดงเป็นหน่วยเดียวกับงาน กล่าวคือ มีหน่วยเป็นจูล

ถ้าความเร็วเริ่มต้นของการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีมวล NSมีค่าเท่ากับศูนย์และร่างกายเพิ่มความเร็วเป็นค่า υ จากนั้นงานของแรงจะเท่ากับค่าสุดท้ายของพลังงานจลน์ของร่างกาย:

NS=เอก 2−เอก 1=NS⋅υ 22−0=NS⋅υ 22 .

42) สาขาที่มีศักยภาพ

สนามที่มีศักยภาพ

สนามอนุรักษ์นิยม สนามเวกเตอร์ที่มีการไหลเวียนตามวิถีปิดใด ๆ เป็นศูนย์ หาก ป. เป็นสนามแรง แสดงว่าแรงสนามกระทำตามวิถีโคจรปิดเท่ากับศูนย์ สำหรับพี่พี NS(NS) มีฟังก์ชันค่าเดียวดังกล่าว ยู(NS) (ศักย์สนาม) ว่า NS= บัณฑิต ยู(ดูการไล่ระดับสี). หากระบุ P. p. ในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างง่าย Ω ศักยภาพของฟิลด์นี้สามารถหาได้จากสูตร

นั้น เป็น -เส้นโค้งเรียบใด ๆ ที่เชื่อมต่อจุดคงที่ NSจาก Ω ด้วยจุด เอ็ม ที -เวกเตอร์หน่วยเส้นโค้งแทนเจนต์ เป็นและ / - ความยาวส่วนโค้ง เป็น,วัดจากจุด NS.ถ้า NS(NS) - ป. แล้วเน่า NS= 0 (ดู Vortex ของสนามเวกเตอร์) ในทางกลับกันถ้าเน่า NS= 0 และฟิลด์ถูกระบุในโดเมนที่เชื่อมต่ออย่างเรียบง่ายและหาอนุพันธ์ได้ดังนั้น NS(NS) - ปัจจัยที่เป็นไปได้ เช่น สนามไฟฟ้าสถิต สนามโน้มถ่วง สนามความเร็วในการเคลื่อนที่แบบไม่มีกระแสน้ำวน

43) พลังงานศักย์

พลังงานศักย์- ปริมาณสเกลาร์ทางกายภาพที่กำหนดความสามารถของวัตถุบางอย่าง (หรือจุดวัสดุ) ในการดำเนินงานเนื่องจากการมีอยู่ในด้านการกระทำของกองกำลัง คำจำกัดความอื่น: พลังงานศักย์เป็นฟังก์ชันของพิกัด ซึ่งเป็นคำศัพท์ในภาษาลากรองจ์ของระบบ และอธิบายปฏิสัมพันธ์ขององค์ประกอบของระบบ คำว่า "พลังงานศักย์" ถูกสร้างขึ้นในศตวรรษที่ 19 โดยวิลเลียม แรนกิน วิศวกรและนักฟิสิกส์ชาวสก็อต

หน่วย SI ของพลังงานคือจูล

พลังงานศักย์จะถูกทำให้เป็นศูนย์สำหรับการกำหนดค่าบางอย่างของวัตถุในอวกาศ ซึ่งทางเลือกจะถูกกำหนดโดยความสะดวกในการคำนวณเพิ่มเติม กระบวนการในการเลือกการกำหนดค่านี้เรียกว่า การทำให้เป็นมาตรฐานของพลังงานศักย์.

คำจำกัดความที่ถูกต้องของพลังงานศักย์สามารถให้ได้เฉพาะในด้านของแรงซึ่งงานนั้นขึ้นอยู่กับตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้ายของร่างกายเท่านั้น แต่ไม่ขึ้นอยู่กับวิถีการเคลื่อนที่ กองกำลังดังกล่าวเรียกว่าอนุรักษ์นิยม

นอกจากนี้ พลังงานศักย์ยังเป็นลักษณะของปฏิสัมพันธ์ของวัตถุหลาย ๆ ตัวหรือร่างกายและสนาม

ระบบทางกายภาพใด ๆ มีแนวโน้มที่จะอยู่ในสถานะที่มีพลังงานศักย์ต่ำที่สุด

พลังงานศักย์ของการเสียรูปยืดหยุ่นเป็นตัวกำหนดปฏิสัมพันธ์ของส่วนต่าง ๆ ของร่างกายซึ่งกันและกัน

พลังงานศักย์ในสนามโน้มถ่วงของโลกใกล้พื้นผิวนั้นแสดงออกมาโดยประมาณโดยสูตร:

ที่ไหน อี พี- พลังงานศักย์ของร่างกาย NS- มวลร่างกาย, NS- ความเร่งของแรงโน้มถ่วง ชม- ความสูงของตำแหน่งศูนย์กลางมวลของร่างกายเหนือระดับศูนย์ที่เลือกโดยพลการ

44) ความเชื่อมโยงระหว่างแรงกับพลังงานศักย์

แต่ละจุดของสนามศักย์จะสัมพันธ์กับค่าหนึ่งของเวกเตอร์ของแรงที่กระทำต่อร่างกาย และในทางกลับกัน กับค่าหนึ่งของพลังงานศักย์ ดังนั้นจะต้องมีการเชื่อมต่อระหว่างแรงและพลังงานศักย์

เพื่อสร้างการเชื่อมต่อนี้ ให้เราคำนวณงานเบื้องต้นที่ดำเนินการโดยกองกำลังภาคสนามด้วยการกระจัดเล็กน้อยของร่างกายตามทิศทางที่เลือกโดยพลการในอวกาศซึ่งเราแสดงด้วยตัวอักษร งานนี้เท่ากับ

การฉายภาพของแรงบนทิศทางอยู่ที่ไหน

เนื่องจากในกรณีนี้ งานทำโดยสิ้นเปลืองพลังงานสำรองจึงเท่ากับการสูญเสียพลังงานศักย์บนส่วนแกน:

จากสองนิพจน์สุดท้ายที่เราได้รับ

นิพจน์สุดท้ายให้ค่าเฉลี่ยในส่วน ถึง

เพื่อให้ได้ค่า ณ จุดนั้น คุณต้องทำการเปลี่ยนไปยังขีดจำกัด:

ในเวกเตอร์คณิตศาสตร์

โดยที่ a คือฟังก์ชันสเกลาร์ x, y, z เรียกว่าเกรเดียนต์ของสเกลาร์นี้แสดงด้วยสัญลักษณ์ . ดังนั้น แรงจึงเท่ากับความชันของพลังงานศักย์ ถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม

45) กฎหมายอนุรักษ์พลังงานกล

งานของผลลัพธ์ของแรงทั้งหมดที่ใช้กับร่างกายเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ของร่างกาย

ทฤษฎีบทนี้เป็นจริงไม่เพียงแต่สำหรับการเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุแข็งเกร็งเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกรณีของการเคลื่อนที่ตามอำเภอใจด้วย

พลังงานจลน์ถูกครอบครองโดยวัตถุที่เคลื่อนไหวเท่านั้นจึงเรียกว่าพลังงานของการเคลื่อนไหว

§ 8. กองกำลังอนุรักษ์นิยม (ศักยภาพ)

สาขากองกำลังอนุรักษ์นิยม

def.

แรงที่ทำงานไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางที่ร่างกายเคลื่อนที่ แต่ถูกกำหนดโดยตำแหน่งเริ่มต้นและสุดท้ายของร่างกายเท่านั้นที่เรียกว่ากองกำลังอนุรักษ์นิยม (ศักยภาพ)

def.

สนามพลังคือพื้นที่ของอวกาศในแต่ละจุดที่แรงกระทำต่อวัตถุที่วางอยู่ที่นั่นซึ่งเปลี่ยนจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งในอวกาศเป็นประจำ

def.

ฟิลด์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไปเรียกว่านิ่ง

3 ข้อความต่อไปนี้สามารถพิสูจน์ได้

1) การทำงานของกองกำลังอนุรักษ์นิยมบนเส้นทางปิดใด ๆ คือ 0

การพิสูจน์:

2) สนามกองกำลังสม่ำเสมอเป็นแบบอนุรักษ์นิยม

def.

สนามจะเรียกว่าเอกพันธ์ ถ้าทุกจุดของสนามแรงที่กระทำต่อวัตถุที่วางมีขนาดและทิศทางเท่ากัน

การพิสูจน์:

3) สนามแรงศูนย์กลาง ซึ่งขนาดของแรงขึ้นอยู่กับระยะห่างจากศูนย์กลางเท่านั้น เป็นแบบอนุรักษ์นิยม

def.

สนามของกองกำลังกลางคือสนามแรงในแต่ละจุดที่แรงกระทำต่อวัตถุที่เคลื่อนที่อยู่ในนั้น ชี้ไปตามเส้นที่ผ่านจุดคงที่เดียวกัน - ศูนย์กลางของสนาม

ในกรณีทั่วไป สนามพลังกลางดังกล่าวไม่อนุรักษ์นิยม หากในสนามแรงศูนย์กลาง ขนาดของแรงขึ้นอยู่กับระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของสนามแรง (O) เท่านั้น กล่าวคือ จากนั้นฟิลด์ดังกล่าวจะเป็นแบบอนุรักษ์นิยม (มีศักยภาพ)

การพิสูจน์:

แอนติเดริเวทีฟอยู่ที่ไหน

§ 9. พลังงานศักย์

ความเชื่อมโยงระหว่างแรงกับพลังงานศักย์

ในด้านกองกำลังอนุรักษ์นิยม

ให้เราเลือกที่มาของพิกัดตามสาขากองกำลังอนุรักษ์นิยม กล่าวคือ

พลังงานศักย์ของร่างกายในด้านกองกำลังอนุรักษ์นิยม ฟังก์ชั่นนี้ถูกกำหนดโดยเฉพาะ (ขึ้นอยู่กับพิกัดเท่านั้น) ตั้งแต่ การทำงานของกองกำลังอนุรักษ์นิยมไม่ได้ขึ้นอยู่กับประเภทของเส้นทาง

ให้เราหาความเชื่อมโยงในด้านกองกำลังอนุรักษ์นิยมเมื่อร่างกายเคลื่อนจากจุดที่ 1 ไปยังจุดที่ 2

การทำงานของกองกำลังอนุรักษ์นิยมเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ที่มีเครื่องหมายตรงข้าม

พลังงานศักย์ของร่างกายของสนามกองกำลังอนุรักษ์นิยมคือพลังงานเนื่องจากการมีอยู่ของสนามแรงที่เกิดขึ้นจากการมีปฏิสัมพันธ์บางอย่างของร่างกายที่กำหนดกับร่างกายภายนอก (ร่างกาย) ซึ่งอย่างที่พวกเขาพูดนั้นสร้าง สนามพลัง

พลังงานศักย์ของสนามกองกำลังอนุรักษ์นิยมเป็นตัวกำหนดความสามารถของร่างกายในการทำงานและมีค่าเท่ากับตัวเลขการทำงานของกองกำลังอนุรักษ์นิยมในการเคลื่อนย้ายร่างกายไปยังจุดกำเนิด (หรือไปยังจุดที่มีพลังงานเป็นศูนย์) ขึ้นอยู่กับทางเลือกของระดับศูนย์และสามารถลบได้ ไม่ว่าในกรณีใดและด้วยเหตุนี้สำหรับงานระดับประถมศึกษาก็เป็นความจริงเช่น หรือการฉายของแรงบนทิศทางการเคลื่อนที่หรือการกระจัดเบื้องต้นอยู่ที่ไหน เพราะฉะนั้น, . เพราะ เราสามารถขยับร่างกายไปในทิศทางใดก็ได้จากนั้นก็เป็นจริงสำหรับทิศทางใด การคาดคะเนของแรงอนุรักษ์บนทิศทางโดยพลการเท่ากับอนุพันธ์ของพลังงานศักย์ในทิศทางนี้ด้วยเครื่องหมายตรงข้าม

โดยคำนึงถึงการสลายตัวของเวกเตอร์และโดยพื้นฐานแล้ว เราจะได้สิ่งนั้น

ในทางกลับกัน เป็นที่ทราบกันดีจากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ว่า ค่าดิฟเฟอเรนเชียลทั้งหมดของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของอนุพันธ์ย่อยบางส่วนเทียบกับอาร์กิวเมนต์โดยดิฟเฟอเรนเชียลของอาร์กิวเมนต์ กล่าวคือ และด้วยเหตุนี้จากความสัมพันธ์ที่เราได้รับ

หากต้องการบันทึกอัตราส่วนเหล่านี้ให้กระชับยิ่งขึ้น คุณสามารถใช้แนวคิดของการไล่ระดับสีของฟังก์ชันได้

def.

เกรเดียนท์ของฟังก์ชันสเกลาร์ของพิกัดบางตัวเป็นเวกเตอร์ที่มีพิกัดเท่ากับอนุพันธ์ย่อยบางส่วนที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนี้

ในกรณีของเรา

def.

พื้นผิวศักย์ไฟฟ้าคือตำแหน่งของจุดในด้านกองกำลังอนุรักษ์นิยมซึ่งค่าของพลังงานศักย์จะเท่ากันนั่นคือ ...

เพราะ จากนิยามของพื้นผิวศักย์ศักย์ไฟฟ้า ดังนั้นสำหรับจุดของพื้นผิวนี้ จึงเป็นอนุพันธ์ของค่าคงที่ ดังนั้น

ดังนั้น แรงอนุรักษ์มักจะตั้งฉากกับพื้นผิวศักย์ศักย์ไฟฟ้าและมุ่งไปที่การลดลงของพลังงานศักย์ (P 1> P 2> P 3).

§ 10. พลังงานศักย์ของการปฏิสัมพันธ์

ระบบเครื่องกลแบบอนุรักษ์นิยม

พิจารณาระบบของสองอนุภาคที่มีปฏิสัมพันธ์ ให้แรงของปฏิกิริยาเป็นศูนย์กลางและขนาดของแรงขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างอนุภาค (แรงดังกล่าวคือแรงโน้มถ่วงและแรงไฟฟ้าของคูลอมบ์) เป็นที่ชัดเจนว่าแรงของปฏิสัมพันธ์ระหว่างสองอนุภาคนั้นอยู่ภายใน

โดยคำนึงถึงกฎข้อที่สามของนิวตัน () เราได้รับนั่นคือ การทำงานของแรงภายในของปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคสองตัวนั้นพิจารณาจากการเปลี่ยนแปลงระยะห่างระหว่างพวกมัน

งานเดียวกันนี้จะทำได้หากอนุภาคแรกหยุดนิ่งอยู่ที่จุดกำเนิด และอนุภาคที่สองได้รับการกระจัดเท่ากับการเพิ่มของเวกเตอร์รัศมี กล่าวคือ งานที่ทำโดยแรงภายในสามารถคำนวณได้โดยถือว่าอนุภาคหนึ่งไม่มีการเคลื่อนที่ และการเคลื่อนที่ครั้งที่สองในสนามพลังกลาง ซึ่งกำหนดขนาดโดยระยะห่างระหว่างอนุภาคโดยไม่ซ้ำกัน ในหัวข้อที่ 8 เราพิสูจน์แล้วว่าสนามของกองกำลังดังกล่าว (เช่น สนามกองกำลังกลาง ซึ่งขนาดของแรงขึ้นอยู่กับระยะห่างจากศูนย์กลางเท่านั้น) เป็นแบบอนุรักษ์นิยม ซึ่งหมายความว่างานของพวกเขาถือได้ว่าเป็น พลังงานศักย์ลดลง (กำหนดตามมาตรา 9 สำหรับสนามพลังอนุรักษ์นิยม)

ในกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา พลังงานนี้เกิดจากการมีปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคสองตัวที่ประกอบกันเป็นระบบปิด เรียกว่าพลังงานศักย์ของการปฏิสัมพันธ์ (หรือพลังงานศักย์ร่วมกัน) นอกจากนี้ยังขึ้นอยู่กับทางเลือกของระดับศูนย์และสามารถติดลบได้

def.

ระบบทางกลของของแข็งซึ่งเป็นแรงภายในระหว่างกันซึ่งเรียกว่าอนุรักษ์นิยมเรียกว่าระบบกลไกแบบอนุรักษ์นิยม

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าพลังงานปฏิกิริยาที่อาจเกิดขึ้นของระบบอนุรักษ์นิยมของอนุภาค N นั้นประกอบด้วยพลังงานปฏิกิริยาที่อาจเกิดขึ้นของอนุภาคที่จับเป็นคู่ ซึ่งสามารถจินตนาการได้

พลังงานศักย์ของปฏิกิริยาของสองอนุภาค i-th และ j-th อยู่ที่ไหน ดัชนี i และ j ในผลรวมใช้ค่าอิสระ 1,2,3, ..., N โดยคำนึงถึงพลังงานศักย์เดียวกันของการโต้ตอบของอนุภาค i-th และ j-th ซึ่งกันและกันแล้ว เมื่อรวมพลังงานจะถูกคูณด้วย 2 อันเป็นผลให้สัมประสิทธิ์ปรากฏหน้าผลรวม ในกรณีทั่วไป พลังงานปฏิกิริยาที่อาจเกิดขึ้นของระบบอนุภาค N จะขึ้นอยู่กับตำแหน่งหรือพิกัดของอนุภาคทั้งหมด เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าพลังงานศักย์ของอนุภาคในด้านแรงอนุรักษ์เป็นพลังงานศักย์ประเภทหนึ่งของการปฏิสัมพันธ์ของระบบอนุภาคตั้งแต่ สนามแรงเป็นผลมาจากการปฏิสัมพันธ์ของร่างกายซึ่งกันและกัน

§ 11. กฎการอนุรักษ์พลังงานในกลศาสตร์

ปล่อยให้ร่างกายที่แข็งกระด้างเคลื่อนที่ตามการแปลภายใต้การกระทำของกองกำลังอนุรักษ์นิยมและไม่อนุรักษ์นิยมเช่น กรณีทั่วไป แล้วผลลัพท์ของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อร่างกาย งานนี้เป็นผลพวงของแรงทั้งหมดในกรณีนี้

โดยทฤษฎีบทพลังงานจลน์ และพิจารณาด้วยว่า เราจะได้

พลังงานกลทั้งหมดของร่างกาย

ถ้าอย่างนั้น. นี่คือบันทึกทางคณิตศาสตร์ของกฎการอนุรักษ์พลังงานในกลศาสตร์สำหรับแต่ละร่างกาย

การกำหนดกฎการอนุรักษ์พลังงาน:

พลังงานกลทั้งหมดของร่างกายจะไม่เปลี่ยนแปลงหากไม่มีการทำงานของกองกำลังที่ไม่อนุรักษ์นิยม

สำหรับระบบกลไกของอนุภาค N จะแสดงให้เห็นได้ง่ายว่า (*) เกิดขึ้น

โดยที่

ผลรวมแรกที่นี่คือพลังงานจลน์ทั้งหมดของระบบอนุภาค

ประการที่สองคือพลังงานศักย์รวมของอนุภาคในเขตภายนอกของแรงอนุรักษ์

ที่สามคือพลังงานศักย์ของการปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคของระบบซึ่งกันและกัน

ผลรวมที่สองและสามแสดงถึงพลังงานศักย์รวมของระบบ

การทำงานของกองกำลังไม่อนุรักษ์นิยมประกอบด้วยคำสองคำซึ่งแสดงถึงการทำงานของกองกำลังที่ไม่อนุรักษ์นิยมภายในและภายนอก

ในกรณีของการเคลื่อนที่ของวัตถุแต่ละชิ้น สำหรับระบบกลไกของวัตถุ N ถ้าเช่นนั้น และกฎการอนุรักษ์พลังงานในกรณีทั่วไปสำหรับระบบกลไกอ่านว่า

พลังงานกลทั้งหมดของระบบอนุภาคที่อยู่ภายใต้อิทธิพลของแรงอนุรักษ์เท่านั้นจะถูกอนุรักษ์ไว้

ดังนั้นเมื่อมีกองกำลังที่ไม่อนุรักษ์นิยม พลังงานกลทั้งหมดจะไม่ถูกอนุรักษ์ไว้

แรงที่ไม่อนุรักษ์นิยม เช่น แรงเสียดทาน แรงต้านทาน และแรงอื่นๆ การกระทำที่ก่อให้เกิดพลังงานตกตะกอน (การเปลี่ยนพลังงานกลเป็นความร้อน)

แรงที่นำไปสู่การผึ่งให้แห้งเรียกว่าเดซิเนทีฟ กองกำลังบางอย่างไม่จำเป็นต้องไม่เห็นด้วย

กฎการอนุรักษ์พลังงานเป็นสากลและใช้ได้กับปรากฏการณ์ทางกลเท่านั้น แต่ยังใช้ได้กับกระบวนการทั้งหมดในธรรมชาติด้วย ปริมาณพลังงานทั้งหมดในระบบที่แยกจากกันของร่างกายและทุ่งนาจะคงที่เสมอ พลังงานสามารถส่งผ่านจากรูปแบบหนึ่งไปยังอีกรูปแบบหนึ่งเท่านั้น

ด้วยความเท่าเทียมกันนี้

หากคุณต้องการเนื้อหาเพิ่มเติมในหัวข้อนี้ หรือคุณไม่พบสิ่งที่คุณกำลังมองหา เราขอแนะนำให้ใช้การค้นหาในผลงานของเรา:

เราจะทำอย่างไรกับวัสดุที่ได้รับ:

หากเนื้อหานี้มีประโยชน์สำหรับคุณ คุณสามารถบันทึกลงในเพจของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก:

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพลังงานจลน์ของจุดในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

คูณทั้งสองข้างของสมการการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุด้วยการกระจัดเบื้องต้นของจุด เราจะได้

หรือตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ค่าสเกลาร์หรือครึ่งหนึ่งของผลคูณของมวลของจุดโดยกำลังสองของความเร็วนั้นเรียกว่าพลังงานจลน์ของจุดหรือพลังชีวิตของจุด

ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายถือเป็นเนื้อหาของทฤษฎีบทเกี่ยวกับพลังงานจลน์ของจุดในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล ซึ่งระบุ: ค่าดิฟเฟอเรนเชียลของพลังงานจลน์ของจุดหนึ่งเท่ากับงานพื้นฐานที่กระทำต่อจุดของแรง

ความหมายทางกายภาพของทฤษฎีบทพลังงานจลน์คืองานที่ทำโดยแรงที่กระทำต่อจุดนั้นจะถูกสะสมเป็นพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่

ทฤษฎีบทพลังงานจลน์ของจุดในรูปปริพันธ์

ปล่อยให้จุดเคลื่อนจากตำแหน่ง A ไปยังตำแหน่ง B โดยผ่านส่วนโค้งสุดท้าย AB ตามวิถีของมัน (รูปที่ 113) การบูรณาการภายในขอบเขตจากความเท่าเทียมกัน A ถึง B:

โดยที่ความเร็วของจุดที่ตำแหน่ง A และ B ตามลำดับ

ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายถือเป็นเนื้อหาของทฤษฎีบทเกี่ยวกับพลังงานจลน์ของจุดในรูปแบบอินทิกรัล ซึ่งกล่าวว่าการเปลี่ยนแปลงในพลังงานจลน์ของจุดในช่วงเวลาหนึ่งจะเท่ากับงานที่ทำในช่วงเวลาเดียวกันโดย แรงกระทำต่อมัน

ทฤษฎีบทที่ได้นั้นใช้ได้เมื่อจุดเคลื่อนที่ภายใต้แรงกระทำใดๆ อย่างไรก็ตาม ตามที่ระบุไว้ ในการคำนวณงานทั้งหมดของแรง โดยทั่วไปจำเป็นต้องรู้สมการการเคลื่อนที่ของจุด

ดังนั้น ทฤษฎีบทพลังงานจลน์ โดยทั่วไปแล้ว ไม่ได้ให้อินทิกรัลแรกของสมการการเคลื่อนที่

อินทิกรัลพลังงาน

ทฤษฎีบทพลังงานจลน์ให้อินทิกรัลแรกของสมการการเคลื่อนที่ของจุด ถ้าสามารถหางานทั้งหมดของแรงได้โดยไม่ต้องอาศัยสมการการเคลื่อนที่ อย่างหลังเป็นไปได้ตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้หากแรงที่กระทำต่อจุดนั้นเป็นของสนามแรง ในกรณีนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะรู้เฉพาะวิถีของจุดนั้น ให้วิถีของจุดเป็นเส้นโค้งบางจุด จากนั้นพิกัดของจุดสามารถแสดงผ่านส่วนโค้งของวิถีได้ ดังนั้น แรงที่ขึ้นอยู่กับพิกัดของจุดสามารถแสดงผ่าน

และทฤษฎีบทพลังงานจลน์ให้อินทิกรัลแรกของรูปแบบ

ส่วนโค้งของวิถีโคจรที่สอดคล้องกับจุด A อยู่ที่ไหน และเป็นการฉายของแรงสู่เส้นสัมผัสของวิถี (รูปที่ 113)

พลังงานศักย์และกฎการอนุรักษ์พลังงานกลของจุดหนึ่ง

สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือการเคลื่อนที่ของจุดในสนามศักย์ เนื่องจากทฤษฎีบทพลังงานจลน์ทำให้ในกรณีนี้เป็นอินทิกรัลที่สำคัญมากของสมการการเคลื่อนที่

ในสนามที่มีศักยภาพ งานทั้งหมดของแรงเท่ากับผลต่างในค่าของฟังก์ชันแรงที่จุดสิ้นสุดและที่จุดเริ่มต้นของเส้นทาง:

ดังนั้นทฤษฎีบทพลังงานจลน์ในกรณีนี้จึงเขียนในรูปแบบ:

ฟังก์ชันความแรงซึ่งถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้ามเรียกว่าพลังงานศักย์ของจุดและเขียนแทนด้วยตัวอักษร P:

พลังงานศักย์เช่นเดียวกับฟังก์ชันความแรงถูกระบุด้วยความแม่นยำถึงค่าคงที่โดยพลการ ค่าที่กำหนดโดยการเลือกพื้นผิวศูนย์ของระดับ ผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของจุดหนึ่งเรียกว่าพลังงานกลทั้งหมดของจุด

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพลังงานจลน์ของจุด ถ้าแรงเป็นของสนามศักย์ เขียนในรูปแบบ:

ค่าของพลังงานศักย์ที่สอดคล้องกับจุด A และ B อยู่ที่ไหน สมการที่ได้คือเนื้อหาของกฎการอนุรักษ์พลังงานกลสำหรับจุดหนึ่งซึ่งบอกว่า: เมื่อเคลื่อนที่ในสนามศักย์ไฟฟ้าผลรวมของจลนศาสตร์และ พลังงานศักย์ของจุดคงที่

เนื่องจากกฎการอนุรักษ์พลังงานกลใช้ได้เฉพาะกับแรงที่เป็นของสนามที่มีศักยภาพ แรงของสนามดังกล่าวจึงเรียกว่าอนุรักษ์นิยม (จากคำกริยาภาษาละติน conservare - เพื่อรักษา) ซึ่งเน้นการปฏิบัติตามกฎหมายที่กำหนดไว้ในกรณีนี้ โปรดทราบว่าหากแนวคิดเรื่องพลังงานจลน์รู้จักพื้นฐานทางกายภาพในคำจำกัดความ แนวคิดเรื่องพลังงานศักย์ก็ขาดสิ่งนี้ แนวคิดของพลังงานศักย์ในแง่หนึ่งเป็นค่าสมมติ ซึ่งกำหนดไว้เพื่อให้การเปลี่ยนแปลงของค่าสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ การแนะนำปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนไหวนี้ช่วยอธิบายการเคลื่อนไหวและมีบทบาทสำคัญในสิ่งที่เรียกว่าคำอธิบายการเคลื่อนไหวที่มีพลังซึ่งพัฒนาโดยกลศาสตร์การวิเคราะห์ อันหลังคือความหมายของการแนะนำค่านี้

พลังงานปริมาณทางกายภาพสเกลาร์เรียกว่า ซึ่งเป็นหน่วยวัดเดียวของรูปแบบต่าง ๆ ของการเคลื่อนที่ของสสารและการวัดการเปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนที่ของสสารจากรูปแบบหนึ่งไปยังอีกรูปแบบหนึ่ง

ในการจำแนกลักษณะการเคลื่อนที่ของสสารในรูปแบบต่างๆ จึงมีการแนะนำประเภทของพลังงานที่เหมาะสม เช่น พลังงานกล ภายใน พลังงานไฟฟ้าสถิต ปฏิกิริยาระหว่างนิวเคลียร์ เป็นต้น

พลังงานเป็นไปตามกฎหมายการอนุรักษ์ซึ่งเป็นกฎธรรมชาติที่สำคัญที่สุดข้อหนึ่ง

พลังงานกล E กำหนดลักษณะการเคลื่อนที่และปฏิสัมพันธ์ของร่างกาย และเป็นหน้าที่ของความเร็วและการจัดเรียงตัวร่วมกันของร่างกาย เท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์

พลังงานจลน์

พิจารณากรณีเมื่อร่างกายมีมวล NSมีแรงคงที่ \ (~ \ vec F \) (อาจเป็นผลลัพธ์ของแรงหลายตัว) และเวกเตอร์แรง \ (~ \ vec F \) และการกระจัด \ (~ \ vec s \) มุ่งตรงไปทางเดียว เส้นไปในทิศทางเดียว ในกรณีนี้ การทำงานของกำลังสามารถกำหนดได้เป็น NS = NS∙NS... โมดูลัสของแรงตามกฎข้อที่สองของนิวตันคือ NS = ม ∙ a, และโมดูลการกระจัด NSด้วยการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงที่เร่งอย่างสม่ำเสมอนั้นสัมพันธ์กับโมดูลของการเริ่มต้น υ 1 และสุดท้าย υ 2 ความเร็วและความเร่ง NSนิพจน์ \ (~ s = \ frac (\ upsilon ^ 2_2 - \ upsilon ^ 2_1) (2a) \)

จากนี้ไปเพื่อทำงานเราจะได้

\ (~ A = F \ cdot s = m \ cdot a \ cdot \ frac (\ upsilon ^ 2_2 - \ upsilon ^ 2_1) (2a) = \ frac (m \ cdot \ upsilon ^ 2_2) (2) - \ frac (m \ cdot \ upsilon ^ 2_1) (2) \) (1)

ปริมาณทางกายภาพเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของมวลของร่างกายด้วยกำลังสองของความเร็วเรียกว่า พลังงานจลน์ของร่างกาย.

พลังงานจลน์เขียนแทนด้วยตัวอักษร อีเค

\ (~ E_k = \ frac (m \ cdot \ upsilon ^ 2) (2) \) (2)

จากนั้นความเท่าเทียมกัน (1) สามารถเขียนได้ดังนี้:

\ (~ A = E_ (k2) - E_ (k1) \) (3)

ทฤษฎีบทพลังงานจลน์

การทำงานของแรงลัพธ์ที่กระทำต่อร่างกายเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ของร่างกาย

เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์เท่ากับงานของแรง (3) พลังงานจลน์ของร่างกายจึงแสดงเป็นหน่วยเดียวกับงาน กล่าวคือ มีหน่วยเป็นจูล

ถ้าความเร็วเริ่มต้นของการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีมวล NSมีค่าเท่ากับศูนย์และร่างกายเพิ่มความเร็วเป็นค่า υ จากนั้นงานของแรงจะเท่ากับค่าสุดท้ายของพลังงานจลน์ของร่างกาย:

\ (~ A = E_ (k2) - E_ (k1) = \ frac (m \ cdot \ upsilon ^ 2) (2) - 0 = \ frac (m \ cdot \ upsilon ^ 2) (2) \) (4)

ความหมายทางกายภาพของพลังงานจลน์

พลังงานจลน์ของร่างกายที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว υ แสดงให้เห็นว่างานใดที่แรงกระทำต่อร่างกายที่อยู่นิ่งเพื่อที่จะให้ความเร็วนี้แก่มัน

พลังงานศักย์

พลังงานศักย์เป็นพลังงานปฏิสัมพันธ์ของร่างกาย

พลังงานศักย์ของร่างกายที่ยกขึ้นเหนือพื้นโลกคือพลังงานปฏิสัมพันธ์ระหว่างร่างกายกับโลกโดยแรงโน้มถ่วง พลังงานศักย์ของร่างกายที่บิดเบี้ยวแบบยืดหยุ่นคือพลังงานของการปฏิสัมพันธ์ของส่วนต่าง ๆ ของร่างกายซึ่งกันและกันโดยแรงยืดหยุ่น

ศักยภาพเรียกว่า ความแข็งแกร่งซึ่งงานจะขึ้นอยู่กับตำแหน่งเริ่มต้นและสุดท้ายของวัตถุหรือวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เท่านั้น และไม่ขึ้นกับรูปร่างของวิถี

ด้วยวิถีปิด การทำงานของแรงที่อาจเกิดขึ้นจะเป็นศูนย์เสมอ แรงที่อาจเกิดขึ้น ได้แก่ แรงโน้มถ่วง แรงยืดหยุ่น แรงไฟฟ้าสถิต และอื่นๆ

กองกำลังซึ่งผลงานขึ้นอยู่กับรูปทรงของวิถีที่เรียกว่า ไม่มีศักยภาพ... เมื่อวัตถุหรือวัตถุเคลื่อนที่ไปตามวิถีที่ปิด การทำงานของแรงที่ไม่อาจเกิดขึ้นจะไม่เป็นศูนย์

พลังงานศักย์ของการปฏิสัมพันธ์ของร่างกายกับโลก

หางานที่ทำโดยแรงโน้มถ่วง NS t เมื่อเคลื่อนไหวร่างกายด้วยมวล NSแนวตั้งลงจากความสูง ชม 1 เหนือพื้นผิวโลกถึงความสูง ชม 2 (รูปที่ 1). ถ้าแตกต่าง ชม 1 – ชม 2 น้อยมากเมื่อเทียบกับระยะทางถึงจุดศูนย์กลางของโลก แล้วแรงโน้มถ่วง NS m ในระหว่างการเคลื่อนไหวของร่างกายถือได้ว่าคงที่และเท่ากัน มก..

เนื่องจากการกระจัดตรงกับทิศทางของเวกเตอร์แรงโน้มถ่วง งานของแรงโน้มถ่วงจึงเท่ากับ

\ (~ A = F \ cdot s = m \ cdot g \ cdot (h_1 - h_2) \) (5)

ให้เราพิจารณาการเคลื่อนไหวของร่างกายตามระนาบเอียง เมื่อร่างกายเคลื่อนตัวลงจากระนาบเอียง (รูปที่ 2) แรงโน้มถ่วง NSเสื้อ = ม. ∙ กทำงาน

\ (~ A = m \ cdot g \ cdot s \ cdot \ cos \ alpha = m \ cdot g \ cdot h \), (6)

ที่ไหน ชม- ความสูงของระนาบเอียง NS- โมดูลัสการกระจัดเท่ากับความยาวของระนาบเอียง

การเคลื่อนไหวร่างกายจากจุดหนึ่ง วีอย่างแน่นอน กับตามวิถีใด ๆ (รูปที่ 3) สามารถแสดงทางจิตใจได้ว่าประกอบด้วยการกระจัดตามส่วนของระนาบเอียงที่มีความสูงต่างกัน ชม’, ชม'' ฯลฯ งาน NSแรงโน้มถ่วงตลอดทางจาก วีวี กับเท่ากับผลรวมของงานในส่วนต่าง ๆ ของแทร็ก:

\ (~ A = m \ cdot g \ cdot h "+ m \ cdot g \ cdot h" "+ \ ldots + m \ cdot g \ cdot h ^ n = m \ cdot g \ cdot (h" + h "" + \ ldots + h ^ n) = m \ cdot g \ cdot (h_1 - h_2) \), (7)

ที่ไหน ชม 1 และ ชม 2 - ความสูงจากพื้นผิวโลกซึ่งมีจุดอยู่ตามลำดับ วีและ กับ.

ความเท่าเทียมกัน (7) แสดงให้เห็นว่าการทำงานของแรงโน้มถ่วงไม่ได้ขึ้นอยู่กับวิถีของร่างกายและจะเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของแรงโน้มถ่วงโดยความแตกต่างของความสูงในตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้าย

เมื่อเคลื่อนที่ลง แรงดึงดูดจะเป็นบวก เมื่อเคลื่อนที่ขึ้นจะเป็นลบ การทำงานของแรงโน้มถ่วงบนเส้นทางปิดเป็นศูนย์

ความเท่าเทียมกัน (7) สามารถแสดงได้ดังนี้:

\ (~ A = - (m \ cdot g \ cdot h_2 - m \ cdot g \ cdot h_1) \) (แปด)

ปริมาณทางกายภาพเท่ากับผลคูณของมวลของร่างกายโดยโมดูลัสความเร่งของการตกอย่างอิสระและความสูงที่ร่างกายยกขึ้นเหนือพื้นผิวโลกเรียกว่า พลังงานศักย์ปฏิสัมพันธ์ของร่างกายและโลก

การทำงานของแรงโน้มถ่วงเมื่อเคลื่อนย้ายร่างกายด้วยมวล NSจากจุดที่อยู่บนที่สูง ชม 2 ถึงจุดที่อยู่สูง ชม 1 จากพื้นผิวโลกตามวิถีใด ๆ เท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างร่างกายกับโลกซึ่งถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม

\ (~ A = - (E_ (p2) - E_ (p1)) \) (เก้า)

พลังงานศักย์ถูกระบุด้วยตัวอักษร อี NS.

ค่าของพลังงานศักย์ของร่างกายที่ยกขึ้นเหนือพื้นโลกขึ้นอยู่กับการเลือกระดับศูนย์ นั่นคือ ความสูงที่พลังงานศักย์จะถูกนำไปเป็นศูนย์ โดยปกติแล้วจะถือว่าพลังงานศักย์ของร่างกายบนพื้นผิวโลกเป็นศูนย์

ด้วยตัวเลือกระดับศูนย์นี้ พลังงานศักย์ อี p ของร่างกายที่ความสูง ชมเหนือพื้นผิวโลก เท่ากับผลคูณของมวล m ของร่างกาย โดยโมดูลัสความเร่งโน้มถ่วง NSและระยะทาง ชมจากพื้นผิวโลก:

\ (~ E_p = m \ cdot g \ cdot h \) (สิบ)

ความหมายทางกายภาพของพลังงานศักย์ของการปฏิสัมพันธ์ของร่างกายกับโลก

พลังงานศักย์ของร่างกายซึ่งกระทำโดยแรงโน้มถ่วง เท่ากับงานที่ทำโดยแรงโน้มถ่วงเมื่อร่างกายเคลื่อนไปที่ระดับศูนย์

ต่างจากพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่เชิงแปลซึ่งสามารถมีค่าบวกเท่านั้น พลังงานศักย์ของร่างกายสามารถเป็นได้ทั้งด้านบวกและด้านลบ มวลร่างกาย NSที่ระดับความสูง ชม, ที่ไหน ชม < ชม 0 (ชม 0 - ความสูงเป็นศูนย์) มีพลังงานศักย์เป็นลบ:

\ (~ E_p = -m \ cdot g \ cdot h \)

พลังงานศักย์ของปฏิสัมพันธ์แรงโน้มถ่วง

พลังงานศักย์ของปฏิกิริยาโน้มถ่วงของระบบจุดวัสดุสองจุดที่มีมวล NSและ NSในระยะไกล NSหนึ่งจากที่อื่นเท่ากับ

\ (~ E_p = G \ cdot \ frac (M \ cdot m) (r) \) (สิบเอ็ด)

ที่ไหน NSเป็นค่าคงตัวโน้มถ่วงและเป็นศูนย์ของพลังงานศักย์ ( อี p = 0) เป็นลูกบุญธรรมที่ NS = ∞.

พลังงานศักย์ของปฏิกิริยาโน้มถ่วงของร่างกายกับมวล NSกับโลกที่ ชม- ความสูงของร่างกายเหนือพื้นผิวโลก NS e คือมวลของโลก NS e คือรัศมีของโลกและเลือกศูนย์ของพลังงานศักย์ที่ ชม = 0.

\ (~ E_e = G \ cdot \ frac (M_e \ cdot m \ cdot h) (R_e \ cdot (R_e + h)) \) (12)

ภายใต้เงื่อนไขเดียวกันสำหรับการเลือกค่าอ้างอิงเป็นศูนย์ พลังงานศักย์ของปฏิสัมพันธ์แรงโน้มถ่วงของวัตถุกับมวล NSกับพื้นโลกสำหรับความสูงต่ำ ชม (ชม « NSจ) เท่ากับ

\ (~ E_p = m \ cdot g \ cdot h \),

โดยที่ \ (~ g = G \ cdot \ frac (M_e) (R ^ 2_e) \) คือโมดูลัสของการเร่งความเร็วโน้มถ่วงใกล้พื้นผิวโลก

พลังงานศักย์ของร่างกายที่ยืดหยุ่นได้

ให้เราคำนวณงานที่ทำโดยแรงยืดหยุ่นเมื่อการเสียรูป (การยืดตัว) ของสปริงเปลี่ยนจากค่าเริ่มต้นบางส่วน NS 1 ถึงค่าสุดท้าย NS 2 (รูปที่ 4, b, c)

แรงยืดหยุ่นจะเปลี่ยนเมื่อสปริงเสียรูป ในการหางานของแรงยืดหยุ่น คุณสามารถใช้ค่าเฉลี่ยของโมดูลัสของแรงได้ (เนื่องจากแรงยืดหยุ่นขึ้นอยู่กับ NS) และคูณด้วยโมดูลัสการกระจัด:

\ (~ A = F_ (upr-cp) \ cdot (x_1 - x_2) \), (13)

โดยที่ \ (~ F_ (upr-cp) = k \ cdot \ frac (x_1 - x_2) (2) \) จากที่นี่

\ (~ A = k \ cdot \ frac (x_1 - x_2) (2) \ cdot (x_1 - x_2) = k \ cdot \ frac (x ^ 2_1 - x ^ 2_2) (2) \) หรือ \ (~ A = - \ left (\ frac (k \ cdot x ^ 2_2) (2) - \ frac (k \ cdot x ^ 2_1) (2) \ right) \) (สิบสี่)

ปริมาณทางกายภาพเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความแข็งของร่างกายโดยกำลังสองของการเสียรูปเรียกว่า พลังงานศักย์ร่างกายที่บิดเบี้ยวยืดหยุ่นได้:

\ (~ E_p = \ frac (k \ cdot x ^ 2) (2) \) (15)

จากสูตร (14) และ (15) การทำงานของแรงยืดหยุ่นเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ของร่างกายที่บิดเบี้ยวแบบยืดหยุ่นซึ่งถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม:

\ (~ A = - (E_ (p2) - E_ (p1)) \) (16)

ถ้า NS 2 = 0 และ NS 1 = NSดังจะเห็นได้จากสูตร (14) และ (15)

\ (~ E_p = A \)

ความหมายทางกายภาพของพลังงานศักย์ของร่างกายที่ผิดรูป

พลังงานศักย์ของร่างกายที่บิดเบี้ยวแบบยืดหยุ่นนั้นเท่ากับงานที่ทำโดยแรงยืดหยุ่นระหว่างการเปลี่ยนแปลงของร่างกายไปสู่สถานะที่การเสียรูปเป็นศูนย์

พลังงานศักย์กำหนดลักษณะของร่างกายที่มีปฏิสัมพันธ์และพลังงานจลน์กำหนดลักษณะร่างกายที่เคลื่อนไหว ทั้งพลังงานศักย์และพลังงานจลน์จะเปลี่ยนแปลงเฉพาะอันเป็นผลมาจากปฏิสัมพันธ์ของวัตถุดังกล่าว ซึ่งแรงที่กระทำต่อวัตถุนั้นทำงานอย่างอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ ให้เราพิจารณาคำถามเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานระหว่างปฏิสัมพันธ์ของร่างกายที่สร้างระบบปิด

ระบบปิดเป็นระบบที่ไม่ได้รับผลกระทบจากแรงภายนอกหรือการกระทำของแรงเหล่านี้ได้รับการชดเชย... หากวัตถุหลายตัวมีปฏิสัมพันธ์ซึ่งกันและกันโดยแรงโน้มถ่วงและแรงยืดหยุ่นเท่านั้น และไม่มีแรงภายนอกทำปฏิกิริยากับวัตถุนั้น ดังนั้นสำหรับปฏิสัมพันธ์ใดๆ ของร่างกาย การทำงานของแรงยืดหยุ่นหรือแรงโน้มถ่วงจะเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ของวัตถุ ถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม:

\ (~ A = - (E_ (p2) - E_ (p1)) \) (17)

ตามทฤษฎีบทพลังงานจลน์ การทำงานของแรงเดียวกันเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์:

\ (~ A = E_ (k2) - E_ (k1) \) (สิบแปด)

จากการเปรียบเทียบความเท่าเทียมกัน (17) และ (18) จะเห็นได้ว่าการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลน์ของวัตถุในระบบปิดมีค่าเท่ากับการเปลี่ยนแปลงในพลังงานศักย์ของระบบของร่างกายและอยู่ตรงข้าม ไปที่มันในเครื่องหมาย:

\ (~ E_ (k2) - E_ (k1) = - (E_ (p2) - E_ (p1)) \) หรือ \ (~ E_ (k1) + E_ (p1) = E_ (k2) + E_ (p2) \) (19)

กฎหมายการอนุรักษ์พลังงานในกระบวนการทางกล:

ผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของวัตถุที่ประกอบกันเป็นระบบปิดและมีปฏิสัมพันธ์ซึ่งกันและกันด้วยแรงโน้มถ่วงและแรงยืดหยุ่นจะคงที่

ผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของร่างกายเรียกว่า พลังงานกลเต็มรูปแบบ.

นี่คือประสบการณ์ที่ง่ายที่สุด มาขว้างลูกเหล็กกันเถอะ เมื่อแจ้งความเร็วเริ่มต้น υ เริ่มต้น เราจะให้พลังงานจลน์เพราะมันจะเริ่มสูงขึ้น การกระทำของแรงโน้มถ่วงทำให้ความเร็วของลูกบอลลดลง และด้วยเหตุนี้พลังงานจลน์ของลูกบอล แต่ลูกบอลลอยสูงขึ้นเรื่อย ๆ และได้รับพลังงานที่มีศักยภาพมากขึ้นเรื่อย ๆ ( อีพี = ม. ∙ ก. ∙ h). ดังนั้นพลังงานจลน์จะไม่หายไปอย่างไร้ร่องรอย แต่จะถูกแปลงเป็นพลังงานศักย์

เมื่อถึงจุดสูงสุดของวิถี ( υ = 0) ลูกบอลขาดพลังงานจลน์อย่างสมบูรณ์ ( อี k = 0) แต่ในขณะเดียวกันพลังงานศักย์ของมันก็กลายเป็นค่าสูงสุด จากนั้นลูกบอลจะเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่และเคลื่อนที่ลงด้านล่างด้วยความเร็วที่เพิ่มขึ้น ตอนนี้การแปลงกลับของพลังงานศักย์เป็นพลังงานจลน์เกิดขึ้น

เผยกฎการอนุรักษ์พลังงาน ความหมายทางกายภาพแนวความคิด งาน:

งานของแรงโน้มถ่วงและแรงยืดหยุ่น ในทางหนึ่ง เท่ากับการเพิ่มขึ้นของพลังงานจลน์ และในทางกลับกัน ทำให้พลังงานศักย์ของร่างกายลดลง ดังนั้นงานจึงเท่ากับพลังงานที่เปลี่ยนจากแบบหนึ่งเป็นอีกแบบหนึ่ง

พระราชบัญญัติการเปลี่ยนแปลงพลังงานกล

หากระบบไม่ปิดระบบของร่างกายที่มีปฏิสัมพันธ์ พลังงานกลจะไม่ถูกอนุรักษ์ไว้ การเปลี่ยนแปลงพลังงานกลของระบบดังกล่าวเท่ากับการทำงานของแรงภายนอก:

\ (~ A_ (vn) = \ เดลต้า E = E - E_0 \) (ยี่สิบ)

ที่ไหน อีและ อี 0 - พลังงานกลทั้งหมดของระบบในสถานะสุดท้ายและสถานะเริ่มต้นตามลำดับ

ตัวอย่างของระบบดังกล่าวคือระบบที่แรงที่ไม่อาจเกิดขึ้นกระทำควบคู่ไปกับแรงที่อาจเกิดขึ้น แรงที่ไม่อาจเกิดขึ้น ได้แก่ แรงเสียดทาน ในกรณีส่วนใหญ่เมื่อมุมระหว่างแรงเสียดทาน NS NSร่างกายคือ π เรเดียน งานของแรงเสียดทานเป็นลบและเท่ากับ

\ (~ A_ (tr) = -F_ (tr) \ cdot s_ (12) \),

ที่ไหน NS 12 - เส้นทางของร่างกายระหว่างจุดที่ 1 และ 2

แรงเสียดทานระหว่างการเคลื่อนที่ของระบบลดพลังงานจลน์ลง ด้วยเหตุนี้ พลังงานกลของระบบไม่อนุรักษ์นิยมแบบปิดจึงลดลงเสมอ กลายเป็นพลังงานของรูปแบบการเคลื่อนที่ที่ไม่ใช่ทางกล

ตัวอย่างเช่น รถเคลื่อนที่ไปตามส่วนแนวนอนของถนน หลังจากดับเครื่องยนต์แล้ว จะเดินทางเป็นระยะทางที่กำหนดและหยุดลงภายใต้อิทธิพลของแรงเสียดทาน พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่ไปข้างหน้าของรถมีค่าเท่ากับศูนย์ และพลังงานศักย์ไม่เพิ่มขึ้น ระหว่างการเบรกรถ ความร้อนของผ้าเบรก ยางรถยนต์และยางมะตอยเกิดขึ้น ดังนั้น จากผลของแรงเสียดทาน พลังงานจลน์ของรถไม่ได้หายไป แต่กลายเป็นพลังงานภายในของการเคลื่อนที่ด้วยความร้อนของโมเลกุล

กฎการอนุรักษ์และการเปลี่ยนแปลงพลังงาน

ในปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพใดๆ พลังงานจะเปลี่ยนจากรูปแบบหนึ่งไปเป็นอีกรูปแบบหนึ่ง

บางครั้งมุมระหว่างแรงเสียดทาน NS tr และการกระจัดเบื้องต้น Δ NSเป็นศูนย์และงานของแรงเสียดทานเป็นบวก:

\ (~ A_ (tr) = F_ (tr) \ cdot s_ (12) \),

ตัวอย่าง 1... ให้แรงภายนอก NSทำหน้าที่ในบาร์ วีที่สามารถเลื่อนขึ้นรถเข็นได้ NS(รูปที่ 5). หากแคร่เลื่อนไปทางขวาแสดงว่าแรงเสียดทานเลื่อนทำงาน NS tr2 กระทำบนรถเข็นจากด้านข้างของแท่งเป็นบวก:

ตัวอย่างที่ 2... เมื่อล้อหมุน แรงเสียดทานของการหมุนของมันจะพุ่งไปตามการเคลื่อนที่ เนื่องจากจุดสัมผัสของล้อกับพื้นผิวแนวนอนจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้ามกับทิศทางการเคลื่อนที่ของล้อ และการทำงานของแรงเสียดทานเป็นบวก (รูปที่ 6):

วรรณกรรม

1. อ.ฟ.คาบาร์ดิน ฟิสิกส์: อ้างอิง วัสดุ: ตำราเรียน. คู่มือสำหรับนักเรียน - ม.: การศึกษา, 2534 .-- 367 น.
2. Kikoin I.K. คิโคอิน A.K. ฟิสิกส์: ตำราเรียน. สำหรับ 9 ซล. วันพุธ ซ. - M.: Pro-sveshenie, 1992 .-- 191 p.
3. หนังสือเรียนฟิสิกส์เบื้องต้น: หนังสือเรียน. เบี้ยเลี้ยง. ใน 3 เล่ม / เอ็ด. จีเอส Landsberg: vol. 1. กลศาสตร์. ความร้อน. ฟิสิกส์โมเลกุล - M.: Fizmatlit, 2004 .-- 608 p.
4. Yavorskiy B.M. , Seleznev Yu.A. คู่มืออ้างอิงฟิสิกส์สำหรับผู้สมัครมหาวิทยาลัยและการศึกษาด้วยตนเอง - M.: Nauka, 1983 .-- 383 p.

ค่าสเกลาร์ T เท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ของทุกจุดในระบบ เรียกว่าพลังงานจลน์ของระบบ

พลังงานจลน์เป็นลักษณะของการเคลื่อนที่เชิงแปลและการหมุนของระบบ การเปลี่ยนแปลงได้รับอิทธิพลจากการกระทำของแรงภายนอก และเนื่องจากเป็นสเกลาร์ จึงไม่ขึ้นอยู่กับทิศทางการเคลื่อนที่ของส่วนต่างๆ ของระบบ

ให้เราหาพลังงานจลน์สำหรับกรณีต่างๆ ของการเคลื่อนไหว:

1.การเคลื่อนไหวแปล

ความเร็วของทุกจุดในระบบมีค่าเท่ากับความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล แล้ว

พลังงานจลน์ของระบบในการเคลื่อนที่เชิงการแปลเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของมวลของระบบโดยกำลังสองของความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล

2. การเคลื่อนไหวแบบหมุน(รูปที่ 77)

ความเร็วของจุดใด ๆ บนร่างกาย:. แล้ว

หรือใช้สูตร (15.3.1):

พลังงานจลน์ของวัตถุระหว่างการหมุนมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่สัมพันธ์กับแกนของการหมุนด้วยกำลังสองของความเร็วเชิงมุม

3. ระนาบ-การเคลื่อนที่ขนานกัน

ด้วยการเคลื่อนที่ที่กำหนด พลังงานจลน์คือผลรวมของพลังงานของการเคลื่อนที่เชิงแปลและการหมุน

กรณีทั่วไปของการเคลื่อนไหวให้สูตรการคำนวณพลังงานจลน์ คล้ายกับหลัง

เราได้กำหนดนิยามของงานและกำลังในย่อหน้าที่ 3 ของบทที่ 14 ในที่นี้ เราจะพิจารณาตัวอย่างการคำนวณงานและกำลังของแรงที่กระทำต่อระบบกลไก

1.การทำงานของแรงโน้มถ่วง... อนุญาต พิกัดของตำแหน่งเริ่มต้นและสุดท้ายของจุด k ของร่างกาย งานของแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่ออนุภาคของน้ำหนักนี้จะเป็น ... จากนั้นงานที่สมบูรณ์คือ:

โดยที่ P คือน้ำหนักของระบบจุดวัสดุ คือการกระจัดในแนวตั้งของจุดศูนย์ถ่วง C

2. การทำงานของแรงที่ใช้กับร่างกายที่หมุนได้.

ตามความสัมพันธ์ (14.3.1) มันสามารถเขียนได้ แต่ ds ตามรูปที่ 74 เนื่องจากความเล็กที่ไม่มีที่สิ้นสุดสามารถแสดงในรูปแบบ - มุมการหมุนของร่างกายที่น้อยที่สุด แล้ว

ปริมาณ เรียกว่าแรงบิด

สูตร (19.1.6) สามารถเขียนใหม่เป็น

งานเบื้องต้นเท่ากับผลคูณของแรงบิดและการหมุนเบื้องต้น

เมื่อหมุนเป็นมุมสุดท้าย เรามี:

ถ้าแรงบิดคงที่ก็

และอำนาจถูกกำหนดจากความสัมพันธ์ (14.3.5)

เป็นผลคูณของแรงบิดและความเร็วเชิงมุมของร่างกาย

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ที่พิสูจน์แล้วสำหรับจุด (§ 14.4) จะใช้ได้กับจุดใดๆ ของระบบ

การเขียนสมการดังกล่าวสำหรับจุดทั้งหมดของระบบและเพิ่มระยะต่อเทอม เราได้รับ:

หรือตาม (19.1.1):

ซึ่งเป็นการแสดงออกของทฤษฎีบทเกี่ยวกับพลังงานจลน์ของระบบในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล

โดยการรวม (19.2.2) เราได้รับ:

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ในรูปแบบสุดท้าย: การเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ของระบบที่มีการกระจัดขั้นสุดท้ายบางส่วนจะเท่ากับผลรวมของงานในการกระจัดของแรงภายนอกและภายในทั้งหมดที่นำไปใช้กับระบบ .

ให้เราเน้นว่าไม่มีการยกเว้นกองกำลังภายใน สำหรับระบบที่ไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ ผลรวมของงานของแรงภายในทั้งหมดจะเป็นศูนย์และ

หากข้อจำกัดที่กำหนดในระบบไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป แรงทั้งภายนอกและภายในสามารถแบ่งออกเป็นปฏิกิริยาเชิงรุกและปฏิกิริยาจำกัด และสามารถเขียนสมการ (19.2.2) ได้ดังนี้

ในพลวัต มีการแนะนำแนวคิดเช่นระบบกลไก "ในอุดมคติ" นี่คือระบบดังกล่าว การมีอยู่ของพันธะซึ่งไม่ส่งผลต่อการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์ นั่นคือ

การเชื่อมต่อดังกล่าวซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาและผลรวมของงานในการกระจัดระดับประถมศึกษาเท่ากับศูนย์เรียกว่าอุดมคติและสมการ (19.2.5) จะถูกเขียน:

พลังงานศักย์ของจุดวัสดุในตำแหน่งที่กำหนด M เรียกว่าค่าสเกลาร์ P เท่ากับงานที่แรงสนามจะสร้างขึ้นเมื่อจุดเคลื่อนที่จากตำแหน่ง M เป็นศูนย์

P = A (เดือน) (19.3.1)

พลังงานศักย์ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด M นั่นคือพิกัด

P = P (x, y, z) (19.3.2)

ให้เราอธิบายในที่นี้ว่าสนามแรงเป็นส่วนหนึ่งของปริมาตรเชิงพื้นที่ ณ จุดแต่ละจุดที่แรงซึ่งกำหนดขนาดและทิศทาง กระทำต่ออนุภาคและขึ้นอยู่กับตำแหน่งของอนุภาค กล่าวคือ บนพิกัด x , y, z. ตัวอย่างเช่น สนามโน้มถ่วงของโลก

ฟังก์ชัน U ของพิกัดซึ่งส่วนต่างเท่ากับงานเรียกว่า ฟังก์ชั่นพลังงาน... สนามแรงที่มีฟังก์ชันแรงเรียกว่า สนามพลังศักย์และแรงที่กระทำในด้านนี้คือ กองกำลังที่มีศักยภาพ.

ให้จุดศูนย์สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง (x, y, z) และ U (x, y, z) ตรงกัน

ตามสูตร (14.3.5) เราได้รับนั่นคือ dA = dU (x, y, z) และ

โดยที่ U คือค่าของฟังก์ชันแรงที่จุด M ดังนั้น

П (x, y, z) = -U (x, y, z) (19.3.5)

พลังงานศักย์ ณ จุดใดๆ ของสนามแรงจะเท่ากับค่าของฟังก์ชันแรง ณ จุดนี้ ซึ่งถ่ายด้วยเครื่องหมายตรงข้าม

นั่นคือ เมื่อพิจารณาคุณสมบัติของสนามแรง แทนที่จะเป็นฟังก์ชันแรง เราสามารถพิจารณาพลังงานศักย์ได้ และโดยเฉพาะสมการ (19.3.3) จะถูกเขียนใหม่เป็น

การทำงานของแรงศักย์เท่ากับผลต่างในค่าพลังงานศักย์ของจุดเคลื่อนที่ในตำแหน่งเริ่มต้นและตำแหน่งสุดท้าย

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การทำงานของแรงโน้มถ่วง:

ให้แรงทั้งหมดที่กระทำต่อระบบมีศักยภาพ จากนั้น สำหรับแต่ละจุด k ของระบบ งานจะเท่ากับ

แล้วพลังทั้งหมดทั้งภายนอกและภายในจะมี

พลังงานศักย์ของระบบทั้งหมดอยู่ที่ไหน

เราแทนผลรวมเหล่านี้เป็นนิพจน์สำหรับพลังงานจลน์ (19.2.3):

หรือในที่สุด:

เมื่อเคลื่อนที่ภายใต้อิทธิพลของแรงที่อาจเกิดขึ้น ผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของระบบในแต่ละตำแหน่งจะคงที่ นี่คือกฎการอนุรักษ์พลังงานกล

โหลดที่มีน้ำหนัก 1 กก. ทำการสั่นสะเทือนฟรีตามกฎหมาย x = 0.1sinl0t ค่าสัมประสิทธิ์ความแข็งสปริง c = 100 N / m กำหนดพลังงานกลทั้งหมดของโหลดที่ x = 0.05m ถ้าที่ x = 0 พลังงานศักย์เป็นศูนย์ . (0,5)

โหลดที่มีมวล m = 4 กก. ตกลงมา ใช้เกลียวหมุนทรงกระบอกรัศมี R = 0.4 ม. โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกสัมพันธ์กับแกนหมุน I = 0.2 กำหนดพลังงานจลน์ของระบบวัตถุในเวลาที่ความเร็วของโหลด v = 2m / s . (10,5)