23.09.2019
Экзамен: Повторим термодинамику (Тепловые явления). Моль. Закон Авогадро. Молярный объем газа 1 моль идеального газа при стандартных условиях
Температура
– это количественная мера нагретости тел. Она измеряется при помощи термометра и выражается в градусах Цельсия (?C). Температура тела зависит от скорости движения молекул.
Кинетическая энергия всех молекул, из которых состоит тело, и потенциальная энергия их взаимодействия составляют внутреннюю энергию тела. Внутренняя энергия зависит от температуры тела, агрегатного состояния вещества и других факторов и не зависит от механического положения тела и его механического движения. При повышении температуры внутренняя энергия тела увеличивается.
Внутренняя энергия тела изменяется в процессе теплопередачи и при совершении работы.
Изменение внутренней энергии тела без совершения работы называется теплопередачей
. Теплопередача всегда происходит в направлении от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой. Существует три вида теплопередачи.
Теплопроводность
– перенос энергии от одного тела к другому. При этом вещество не перемещается, переносится только энергия. Теплопроводность зависит от рода вещества. Скорость передачи энергии пропорциональна разности температур.
Конвекция
– это перенос энергии потоками жидкости или газа. Конвекция объясняется действием силы Архимеда. Вещество, нагретое сильнее, имеет меньшую плотность и перемещается под действием этой силы относительно менее нагретого вещества.
Третий способ передачи энергии – излучение
. Он возможен и в вакууме. Энергию излучают все нагретые тела. Чем выше температура, тем сильнее тепловое излучение.
Энергия, которую получает или теряет тело при теплопередаче, называется количеством теплоты Q.
Количество теплоты зависит от массы тела, рода вещества и изменения температуры тела. Количество теплоты измеряется в джоулях (Дж).
Физическая величина, равная количеству теплоты, которое необходимо передать телу массой 1 кг для того, чтобы его температура увеличилась на 1 ?C, называется удельной теплоемкостью вещества c.
Таким образом,
Физическая величина, показывающая, какое количество теплоты выделяется при сгорании одного килограмма топлива, называется
удельной теплотой сгорания q.
Q=qm
Закон сохранения и превращения энергии.
Механическая и внутренняя энергия могут переходить от одного тела к другому. Во всех явлениях, происходящих в природе, энергия не возникает и не исчезает. Она только превращается из одного вида в другой, при этом ее значение сохраняется
Термодинамический процесс - любое изменение в термодинамической системе, приводящее к изменению хотя бы одного из ее термодинамических параметров. Термодинамическое равновесие - такое состояние макроскопической системы, когда ее термодинамические параметры не изменяются с течением времени. Равновесные процессы - процессы, которые протекают так, что изменение термодинамических параметров за конечный промежуток времени бесконечно мало.
Изопроцессы - это равновесные процессы, при которых один из основных параметров состояния сохраняется постоянным.
Изобарный процесс - процесс, протекающий при постоянном давлении (в координатах V,t (он изображается изобарой ).
Изохорный процесс - процесс, протекающий при постоянном объеме (в координатах p,t он изображается изохорой ). Изотермический процесс - процесс, протекающий при постоянной температуре (в координатах p,V он изображается изотермой ).
Адиабатический процесс - это процесс, при котором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой (в координатах p,V он изображается адиабатой ).
Постоянная (число) Авогадро - число молекул в одном моле N A =6.022 . 10 23 .
Нормальные условия : p = 101300 Па, Т = 273.16 К.
Опытные законы идеального газа
Закон Бойля-Мариотта: при T=const, m=const pV = const (изотермический процесс
Закон Гей-Люссака: при p=const, m=const V=V o aT (изобарный процесс ,), при V=const, m=const p=p o aT (изохорный процесс ).
Закон Авогадро: моль любого газа при одинаковой температуре и давлении занимает одинаковый объем V m (при нормальных условиях V m = 22.41 . 10 -3 м 3 )
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева)Функциональная связь между давлением, объемом и температурой называется уравнением состояния . Для идеального газа, используя законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Авогадро, можно получить:
уравнение Клапейрона-Менделеева для одного моля газа pV m = RT, (1a)
где R = 8.31 Дж/моль. К - газовая постоянная (она находится после подстановки в последнее уравнение нормальных условий)
уравнение Клапейрона-Менделеева для произвольной массы газа pV =(m/M)RT = nRT, (1b)
где М - масса одного моля (молярная масса), n = m/M - количество вещества.
Можно ввести постоянную Больцмана
k = R/N A = 1.38 . 10 -23 Дж/К и тогда уравнение Клапейрона-Менделеева имеет вид p = nkT,
где n = N A /V m - число молекул в единице объема (концентрация молекул), т.е. при одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул
(в 1 м 3 при нормальных условиях содержится
N L = 2.68 . 10 25 молекул - число Лошмидта ).
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов выводится в предположении, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие.
p = (1/3)nm
где n = N/V - концентрация молекул газа, N - число молекул газа, V - объем газа,
Суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа
E = N и, следовательно, уравнение p = (1/3)nm
Для средней кинетической энергии поступательного движения одной молекулы идеального газа
Таким образом, термодинамическая температура Т является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа и формула раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.
Внутренняя энергия U - энергия хаотического (теплового) движения микрочастиц системы (молекул, атомов, электронов, ядер и т.д.) и энергия взаимодействия этих частиц. К внутренней энергии не относится кинетическая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях. Внутренняя энергия - однозначная функция термодинамического состояния системы , т.е. в каждом состоянии система обладает вполне определенной (единственной) энергией. Внутренняя энергия не зависит от того, как система пришла в данное состояние: при переходе из состояния (1) в состояние (2) изменение внутренней энергии DU определяется только разностью значений внутренней энергии этих состояний DU = U 1 - U 2 и не зависит от пути перехода.
Внутренняя энергия 1 моль идеального газа равна сумме кинетических энергий N A молекул
U m = ikTN A = iRT/2,
и изменение внутренней энергии 1 моль идеального газа
dU m =(iR/2)dT
(молекулы между собой не взаимодействуют и поэтому взаимная потенциальная энергия молекул газа равна нулю).
Внутренняя энергия произвольной массы m идеального газа
U = (m/M)(iRT/2)=n(iRT/2), где М - молярная масса (масса одного моля)
,
n = m/M - количество вещества.
Первое начало термодинамики:Внутренняя энергия идеального газа может изменяться либо в результате совершения над системой работы, либо сообщением ей теплоты. Иными словами, имеются две формы передачи энергии от одних тел к другим: работа и теплота. Энергия механического движения может превращаться в энергию теплового движения, и наоборот . При этих превращениях соблюдается закон сохранения энергии: теплота Q, сообщаемая системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии DU и на совершение ею работы А против внешних сила (первое начало термодинамики )
Q = DU + A,
где DU - изменение внутренней энергии системы , Q - количество полученной системой теплоты (считается, что Q > 0, если теплота подводится к системе, и Q < 0, если система отдает теплоту), А - работа системы над внешней средой (считается, что A>0, если система совершает ее против внешних сил и A<0, если над системой внешними силами совершается работа). В СИ количество теплоты Q выражается в джоулях [Дж].
При передаче бесконечно малого количества теплоты закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) имеет вид dQ = dU + dA, (3b)
где dU - бесконечно малое изменение внутренней энергии системы (полный дифференциал), dA - элементарная работа , dQ - бесконечно малое количество теплоты.
Первое начало термодинамики формулируют еще и так: нельзя построить периодически действующий двигатель, который совершал бы работу большую, чем та энергия, которая подводится к двигателю извне (такой двигатель называется вечным двигателем первого рода, и невозможность создания вечного двигателя первого рода является одной из формулировок первого начала термодинамики ).
Работа газа при изменении его объемаЕсли газ, расширяясь, двигает поршень на расстояние dl, то он совершает над поршнем работу
dA = Fdl = pSdl = pdV,
где S - площадь поршня, dV = Sdl - изменение объема системы
Где m-масса,M-молярная масса, V- объем.
4. Закон Авогадро. Установлен итальянским физиком Авогадро в 1811 г. Одинаковые объемы любых газов, отобранные при одной температуре и одинаковом давлении, содержат одно и тоже число молекул.
Таким образом, можно сформулировать понятие количества вещества: 1 моль вещества содержит число частиц, равное 6,02*10 23 (называемое постоянной Авогадро)
Следствием этого закона является то, что 1 моль любого газа занимает при нормальных условиях (Р 0 =101,3кПа и Т 0 =298К) объём, равный 22,4л.
5. Закон Бойля-Мариотта
При постоянной температуре объем данного количества газа обратно пропорционален давлению, под которым он находится:
6. Закон Гей-Люссака
При постоянном давлении изменение объема газа прямо пропорционально температуре:
V/T = const.
7. Зависимость между объемом газа, давлением и температурой можно выразить объединенным законом Бойля-Мариотта и Гей-Люссака, которым пользуются для приведения объемов газа от одних условий к другим:
P 0 , V 0 ,T 0 -давление объема и температуры при нормальных условиях: P 0 =760 мм рт. ст. или 101,3 кПа; T 0 =273 К (0 0 С)
8. Независимая оценка значения молекулярноймассы М может быть выполнена с использованием так называемого уравнения состояния идеального газа или уравнения Клапейрона-Менделеева :
pV=(m/M)*RT=vRT. (1.1)
где р - давление газа в замкнутой системе, V - объем системы, т - масса газа, Т - абсолютная температура, R - универсальная газовая постоянная.
Отметим, что значение постоянной R может быть получено подстановкой величин, характеризующих один моль газа при н.у., в уравнение (1.1):
r = (р V)/(Т)=(101,325кПа 22.4 л)/(1 моль 273К)=8.31Дж/моль.К)
Примеры решения задач
Пример 1. Приведение объема газа к нормальным условиям.
Какой объем (н.у.) займут 0,4×10 -3 м 3 газа, находящиеся при 50 0 С и давлении 0,954×10 5 Па?
Решение. Для приведения объема газа к нормальным условиям пользуются общей формулой, объединяющей законы Бойля-Мариотта и Гей-Люссака:
pV/T = p 0 V 0 /T 0 .
Объем газа (н.у.) равен , где Т 0 = 273 К; р 0 = 1,013×10 5 Па; Т = 273 + 50 = 323 К;
м 3 = 0,32×10 -3 м 3 .
При (н.у.) газ занимает объем, равный 0,32×10 -3 м 3 .
Пример 2. Вычисление относительной плотности газа по его молекулярной массе.
Вычислите плотность этана С 2 Н 6 по водороду и воздуху.
Решение. Из закона Авогадро вытекает, что относительная плотность одного газа по другому равна отношению молекулярных масс (М ч ) этих газов, т.е. D=М 1 /М 2 . Если М 1 С2Н6 = 30, М 2 Н2 = 2, средняя молекулярная масса воздуха равна 29, то относительная плотность этана по водороду равна D Н2 = 30/2 =15.
Относительная плотность этана по воздуху: D возд = 30/29 = 1,03, т.е. этан в 15 раз тяжелее водорода и в 1,03 раза тяжелее воздуха.
Пример 3. Определение средней молекулярной массы смеси газов по относительной плотности.
Вычислите среднюю молекулярную массу смеси газов, состоящей из 80 % метана и 20 % кислорода (по объему), используя значения относительной плотности этих газов по водороду.
Решение. Часто вычисления производят по правилу смешения, которое заключается в том, что отношение объемов газов в двухкомпонентной газовой смеси обратно пропорционально разностям между плотностью смеси и плотностями газов, составляющих эту смесь. Обозначим относительную плотность газовой смеси по водороду через D Н2 . она будет больше плотности метана, но меньше плотности кислорода:
80D Н2 – 640 = 320 – 20D Н2 ; D Н2 = 9,6.
Плотность этой смеси газов по водороду равна 9,6. средняя молекулярная масса газовой смеси М Н2 = 2D Н2 = 9,6×2 = 19,2.
Пример 4. Вычисление молярной массы газа.
Масса0,327×10 -3 м 3 газа при 13 0 С и давлении 1,040×10 5 Па равна 0,828×10 -3 кг. Вычислите молярную массу газа.
Решение. Вычислить молярную массу газа можно, используя уравнение Менделеева-Клапейрона:
где m – масса газа; М – молярная масса газа; R – молярная (универсальная) газовая постоянная, значение которой определяется принятыми единицами измерения.
Если давление измерять в Па, а объем в м 3 , то R =8,3144×10 3 Дж/(кмоль×К).
Выражение (13.9) называется уравнением Майера. Оно показывает, что расширение моля идеального газа при постоянном давлении и изменении его температуры на 1 Кельвин требует дополнительного, по сравнению с изобарическим расширением, количества теплоты, необходимого для совершения работы. Это значение равно универсальной газовой постоянной.
Молярная теплоемкость при постоянном объеме равна изменению внутренней энергии одного моля газа при его изохорическом нагревании на 1 Кельвин.
Как будет показано в дальнейшем, величина изменения внутренней энергии 1 моля идеального газа dU m равна:
dU m = i·R·dT/2,
где i - число степеней свободы;
R - универсальная газовая постоянная.
Следовательно, C v = i·R/2. (13.8)
Теплоемкость при постоянном давлении. Уравнение Майера. В случае нагревания газа при постоянном давлении выражение (13.6) можно записать в виде:
C p = dU m /dT + P·dV m /dT.
Воспользовавшись уравнением Менделеева-Клапейрона и выражением (13.7), получим, что
C p = C v + R. (13.9)
Воспользовавшись выражением (13.8), получим
C p = (i + 2)·R/2. (13.10)
Коэффициент Пуассона Как видно из выражения 13.10 отношение теплоемкостей при постоянном давлении и объеме, называемое коэффициентом Пуассона, определяется только числом степеней свободы атомов или молекул и не зависит явным образом от температуры.
g = C p /C v = (i + 2)/i. (13.11)
Заметим, что температурная зависимость коэффициента g не проявляется только для одноатомных газов. Для многоатомных молекул число степеней свободы скачкообразно увеличивается с ростом температуры, т.к. при этом происходит увеличение степеней свободы частиц. В области низких температур существует только поступательное движение молекул i = i п = 3, далее - в области более высоких температур к ним добавляются степени свободы, связанные с возможностью вращательного движения, i = i п + i вр, а затем - колебательного движения i = i п + i вр + 2·i к.
Число степеней свободы i равно числу независимых координат, однозначно определяющих положение тела (или молекулы) в пространстве.
Расчет внутренней энергии и количества теплоты при изохорическом процессе. Исходя из выражения для расчета работы (13.4), очевидно, что в данном процессе газ работы не совершает. Следовательно, согласно первому началу термодинамики (13.3) и выражению для молярной теплоемкости (13.7)
для произвольной массы реального газа при изохорическом процессе изменение его внутренней энергии равно количеству сообщенной ему теплоты:
dU = dQ = (m/m)·C v ·dT. (13.12)
Обратите внимание, что для идеального газа выражение (13.12) окажется справедливым для расчета изменения внутренней энергии для любых процессов. Действительно, поскольку изменение внутренней энергии обусловлено только изменением кинетической энергии частиц ТС (температурой), а потенциальная энергия их взаимодействия при любом состоянии газа равна нулю, то дополнительный фактор, связанный с изменением объема (расстояния между частицами), не приведет к изменению выражения для расчета величины dU.
Для идеального газа dU = (m/m)·C v ·dT
(13.13)
для любых термодинамических процессов.
Итак, внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры.
Пример. Опыт Гей-Люссака и Джоуля. При адиабатическом расширении идеального газа в пустоту внутренняя энергия, а, следовательно, и температура не зависят от объема сосуда, в котором находится газ.
Расчет работы и количества теплоты при изобарическом процессе. Для изобарического процесса работа газа при произвольном изменении его объема равна
A 1-2 = P·(V 2 - V 1). (13.14)
Подставив в (13.14) выражение для расчета объема через давление и температуру, полученное из уравнения Менделеева-Клапейрона, будем иметь, что
A 1-2 = (m/m)·R·(T 2 - T 1). (13.15)
Количество теплоты сообщенное или отведенное от газа будет равно:
Эта теплота идет на совершение работы и изменение внутренней энергии, равной dU = (m/m)·C v ·dT.
Из выражения (13.15) следует физический смысл универсальной газовой постоянной.
асчет работы и количества теплоты при изотермическом процессе. Работа газа при произвольном изменении его объема равна:
Подставив в (13.16) выражение для расчета давления через объем итемпературу, полученное из уравнения Менделеева-Клапейрона, будем иметь, что для изотермического процесса:
A 1-2 = (m/m)·R·T·ln(p 1 /p 2). (13.17)
Изменение внутренне энергии при изотермическом процессе равняется нулю dU = 0, следовательно, исходя из первого начала термодинамики, все количество теплоты идет на совершение газом работы dQ = dA и
Q 1-2 = A 1-2 = (m/m)·R·T·ln(p 1 /p 2).
Уравнение адиабаты (уравнение Пуассона). Адиабатическим называется процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой. Следовательно, для него характерно наличие хорошей изоляции ТС от внешней среды или высокая скорость термодинамического процесса, при которой теплообмен незначителен.
Примеры адиабатных процессов: работа двигателей внутреннего сгорания; процессы, происходящие в термостатах; разряжение и сжатие газа при распространении звуковой волны.
Поскольку обратимые процессы, в отличии от адиабатных, являются бесконечно медленными, то о равновесности последних можно говорить только применительно к определенным областям ТС.
Поскольку для адиабатического процесса dQ = 0, то dA = - dU. Следовательно,
p·dV = - (m/m)·C v ·dT. (13.18)
Следовательно, работа газа при адиабатическом расширении равна
A 1-2 = (m/m)·C v ·(T 1 - T 2). (13.19)
Выразив величину P из уравнения Менделеева-Клапейрона и подставив ее в (13.18), после соответствующих преобразований получим уравнение адиабаты:
T·V g -1 = const или
p·V g = const. (13.20)
Уравнение (13.20) называется также уравнением Пуассона.
На диаграмме P-V адиабата испытывает более резкое падание, чем изотерма (см. рис. 13.4), т.е. в любой точке кривой модуль производной от давления по объему для нее больше. Действительно, из уравнения адиабаты можно показать, что
dp/dV = - g·p/V > p/V.
Уравнение политропы. Рассмотренные выше изохорический, изобарический, изотермический и адиабатический процессы обладают одним общим свойством - имеют постоянную теплоемкость.
12) ри выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям делалось предположение, что внешние силы не действуют на молекулы газа, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Но молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Сила тяжести, с одной стороны, и тепловое движение молекул - с другой, приводят газ к некоторому стационарному состоянию, при котором давление газа с высотой уменьшается.
Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая при этом, что масса всех молекул одинакова, поле тяготения однородно и температура постоянна.
Рис.1
Если атмосферное давление на высоте h равно р (рис. 1), то на высоте h+dh оно равно p+dp (при dh>0 dp<0, так как давление с высотой уменьшается). Разность давлений р и p+dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1 м 2:
где ρ - плотность газа на высоте h (dh настолько мало, что при изменении высоты в этом интервале плотность газа можно считать постоянной). Значит,
Зная уравнение состояния идеального газа pV=(m/M) RT (m - масса газа, М - молярная масса газа), находим, что
Подставив это выражение в (1), получим
С изменением высоты от h 1 до h 2 давление изменяется от р 1 до р 2 (рис. 67), т. е.
Выражение (2) называется барометрической формулой . Она позволяет вычислить атмосферное давление в зависимости от высоты или, измеряя давление, найти высоту: Так как высоты считаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (2) может быть представлено в виде
где р - давление на высоте h.
Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высотомером (или альтиметром ). Его работа основана на применении формулы (3). Из этой формулы следует, что чем тяжелее газ, тем давление с высотой убывает тем быстрее.
Барометрическую формулу (3) можно преобразовать, если воспользоваться формулой p=nkT:
где n – концентрация молекул на высоте h, n 0 – то же, на высоте h=0. Так как M=m 0 N A (N A – постоянная Авогадро, m 0 – масса одной молекулы), a R=kN A , то
где m 0 gh=P - потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.
Выражение (5) называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него видно, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.
Если частицы находятся в состоянии хаотического теплового движения и имеют одинаковую массу и, то распределение Больцмана (5) применимо в любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.
Из этого выражения легко найти распределение молекул газа по значениям кинетической энергии K. Для этого перейдём от переменной υ к переменной :
Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа:
Здесь n 0
– число молекул в единице объёма в той точке, где U
= 0, E = U+K
– полная энергия.
В последнем выражении, потенциальная и кинетическая энергии, а следовательно и полная энергия Е
, могут принимать непрерывный ряд значений. Если же энергия частицы может принимать лишь дискретный ряд значений Е 1 , Е 2
…, (как это имеет место, например, для внутренней энергии атома), то в этом случае распределение Больцмана имеет вид:
где N
– полное число частиц в рассматриваемой системе.
Тогда окончательное выражение распределения Максвелла – Больцмана для случая дискретных значений энергий
будет иметь вид:
| В термодинамически неравновесных системах происходят особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых осуществляется пространственный перенос массы, импульса, энергии. К явлениям переноса относятся теплопроводность (перенос энергии), диффузия (перенос массы) и внутреннее трение (перенос импульса). Ограничимся одномерными явлениями переноса. Систему отсчета будем выберать так, чтобы ось х была направлена в сторону в направления переноса. 1. Теплопроводность. Если в первой области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем во второй, то вследствие постоянных столкновений молекул с течением времени происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т. е., выравнивание температур. Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье: (1) где j E - плотность теплового потока - величина, которая определяется энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, λ - теплопроводность, - градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус говорит о том, что во время теплопроводности энергия перемещается в направлении убывания температуры (поэтому знаки j E и – противоположны). Теплопроводность λ равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице. Можно показать, что (2) где с V - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, которое необходимо для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном объеме), ρ - плотность газа, <ν > - средняя скорость теплового движения молекул, <l > - средняя длина свободного пробега. 2. Диффузия. При происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел; диффузия есть обмен масс частиц этих тел, при этом явление возникает и продолжается, пока существует градиент плотности. Во времена становления молекулярно-кинетической теории по вопросу явления диффузии возникли противоречия. Поскольку молекулы перемещаются в пространстве с огромными скоростями, то диффузия должна происходить очень быстро. Если же открыть в комнате крышку сосуда с пахучим веществом, то запах распространяется довольно медленно. Но здесь нет противоречия. При атмосферном давлении молекулы обладают малой длиной свободного пробега и, при столкновениях с другими молекулами, приемущественно «стоят» на месте. Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика: (3) где j m - плотность потока массы - величина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, D - диффузия (коэффициент диффузии), dρ/dx - градиент плотности, который равен скорости изменения плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус говорит о том, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности (поэтому знаки j m и dρ/dx противоположны). Диффузия D численно равна плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице. Согласно кинетической теории газов, (4) 3. Внутреннее трение (вязкость). Суть механизма возникновения внутреннего трения между параллельными слоями газа (жидкости), которые движущутся с различными скоростями, есть в том, что из-за хаотического теплового движения осуществляется обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, который движется быстрее, уменьшается, который движется медленнее - увеличивается, что приводит к торможению слоя, который движется быстрее, и ускорению слоя, который движется медленнее. Как известно, сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона: (5) где η - динамическая вязкость (вязкость), dν /dx - градиент скорости, который показывает быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев, S - площадь, на которую действует сила F. Согласно второму закону Ньютона взаимодействие двух слоев можно рассматривать как процесс, при котором в единицу времени от одного слоя к другому передается импульс, который по модулю равен действующей силе. Тогда выражение (5) можно записать в виде (6) где j p - плотность потока импульса - величина, которая определяется определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси х, dν /dx - градиент скорости. Знак минус говорит о том, что импульс переносится в направлении убывания скорости (поэтому знаки j p и dν /dx противоположны). Динамическая вязкость η численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости, равном единице; она вычисляется по формуле (7) Из сопосавления формул (1), (3) и (6), которые описывают явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой. Эти законы были известны еще задолго до того, как они были обоснованы и получены из молекулярно-кинетической теории, которая позволила установить, что внешнее сходство их математических выражений является следствием общностью лежащего в основе явлений теплопроводности, диффузии и внутреннего трения молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом. Рассмотренные законы Фурье, Фика и Ньютона не вскрывают молекулярно-кинетической сути коэффициентов λ, D и η. Выражения для коэффициентов переноса получаются из кинетической теории. Они записаны без вывода, поскольку строгое и формальное рассмотрение явлений переноса довольно громоздко, а качественное - не имеет смысла. Формулы (2), (4) и (7) дают связь коэффициентов переноса и характеристики теплового движения молекул. Из этих формул следуют простые зависимости между λ, D и η: и Используя эти формулы, можно по найденным из опыта одним величинам найти другие. |
| Молекулы газа, находясь в хаотическом движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь l
, называемым длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, но так как мы имеем дело с очень большим числом молекул и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул <l
>. Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 1). Он зависит от скорости сталкивающихся молекул, т. е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).
Рис.1
Так как за 1 с молекула в среднем проходит путь, который равен средней арифметической скорости |
| Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при котором система, проходя через ряд состояний, возвращается в первоначальное. На диаграмме цикл изображается замкнутой кривой (рис. 1). Цикл, который совершает идеальный газ, можно разбить на процессы расширения (1-2) и сжатия (2-1) газа. Работа расширения (равна площади фигуры 1a2V2V11) положительна (dV>0), работа сжатия (равна площади фигуры 2b1V 1 V 2 2) отрицательна (dV<0). Следовательно, работа, которую совершает газ за цикл, равен площади, охватываемой замкнутой кривой. Если за цикл совершается положительная работа A=∫pdV>0 (цикл идет по часовой стрелке), то он называется прямым (рис. 1, а), если за цикл осуществляется отрицательная работа A=∫pdV<0 (цикл идет против часовой стрелки), то он называется обратным (рис. 1, б). Рис.1 Прямой цикл применяется в тепловых двигателях - периодически действующих двигателях, которые совершают работу за счет полученной извне теплоты. Обратный цикл применяется в холодильных машинах - периодически действующих установках, в которых за счет работы внешних сил теплота переходит к телу с более высокой температурой. В результате кругового процесса система возвращается в исходное состояние и, значит, полное изменение внутренней энергии газа есть нуль. Поэтому первое начало термодинамики для кругового процесса (1) т. е. работа, которая совершается за цикл, равна количеству теплоты, полученной извне. Однако в результате кругового процесса система может теплоту как получать, так и отдавать, поэтому где Q 1 - количество теплоты, которая получила система, Q 2 - количество теплоты, которое отдала система. Поэтому термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (2) Термодинамический процесс называется обратимым, если он может осуществляться как в прямом, так и в обратном направлении, причем если такой процесс осуществляется сначала в прямом, а затем в обратном направлении и система возвращается в первоначальное состояние, то в окружающей среда и в этой системе не происходит никаких изменений. Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям, является необратимым. Любой равновесный процесс является обратимым. Обратимость равновесного процесса, который происходит в системе, следует из того, что любое промежуточное состояние является состоянием термодинамического равновесия; для него не имеет значения, идет процесс в прямом или обратном направлении. Реальные процессы также сопровождаются диссипацией энергии (из-за трения, теплопроводности и т. д.), которая здесь нами не обсуждается. Обратимые процессы - это идеализация реальных процессов. Их исследование важно по двум причинам: 1) многие процессы в природе и технике практически обратимы; 2) обратимые процессы являются наиболее экономичными; имеют максимальный термический коэффициент полезного действия (КПД), что позволяет указать пути повышения КПД реальных тепловых двигателей. |
| Из формулировки второго начала термодинамики по Кельвину следует, что вечный двигатель второго рода - периодически действующий двигатель, который совершает работу за счет охлаждения одного источника теплоты, - невозможен. Для демонстрации этого положения рассмотрим работу теплового двигателя (рассматривая историю развития термодинамики, второе начало термодинамики и возникло из анализа работы тепловых двигателей). Принцип действия теплового двигателя приведен на рис. 1. От термостата (система, которая может обмениваться теплотой с телами без изменения температуры) с более высокой температурой Т 1 , который называется нагревателем, за цикл отнимается количество теплоты Q 1 , а термостату с более низкой температурой Т 2 , который называется холодильником, за цикл передается количество теплоты Q 2 , при этом совершается работа А = Q 1 – Q 2 . Для того чтобы термический коэффициент полезного действия теплового двигателя был равен 1, нужно выполнение условия Q 2 = 0, т. е. тепловой двигатель должен обладать одним источником теплоты, а это невозможно. Французский физик и инженер Н. Л. С. Карно (1796 - 1832) доказал, что для того, чтобы тепловой двигатель работал необходимо не менее двух источников теплоты с отличающимися температурами, иначе это противоречило бы второму началу термодинамики. Двигатель второго рода, будь он практически возможен, был бы практически вечным. К примеру, Охлаждение воды океанов на 1° дало бы практически неисчерпаемые запасы энергии. Масса воды в Мировом океане составляет порядка 10 19 тонн, при охлаждении которой на 1° выделилось бы примерно 10 24 Дж теплоты, что соответствует полному сжиганию 10 14 т угля. Железнодорожный состав, который нагружен этим количеством угля, растянулся бы на расстояние 10 10 км, что по порядку совпадает с размерами Солнечной системы! Процесс, который обратен происходящему в тепловом двигателе, используется в холодильной машине, принцип действия которой дан на рис. 2. Системой от термостата с более низкой температурой Т 2 за цикл отнимается количество теплоты Q 2 и отдается термостату с более высокой температурой Т 1 количество теплоты Q 1 . Для кругового процесса, согласно первому началу термодинамики для кругового процесса, Q=A, но, по условию, Q = Q 2 – Q 1 < 0, поэтому А<0 и Q 2 – Q 1 = –А, или Q 1 = Q 2 + A, т. е. количество теплоты Q 1 , которое отданно системой источнику теплоты при более высокой температуре T 1 больше количества теплоты Q 2 , которое получено от источника теплоты при более низкой температуре T 2 , на величину работы, совершенной над системой. Значит, без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать ее более нагретому. Это утверждение есть именно второе начало термодинамики в формулировке Клаузиуса. Но второе начало термодинамики не следует понимать так, что оно совсем запрещает переход теплоты от менее нагретого тела к более нагретому. Ведь именно такой переход реализуется в холодильной машине. Но при этом надо учитывать, что внешние силы совершают работу над системой, т. е. этот переход не является единственным результатом процесса. Используя второе начало термодинамики, Карно вывел теорему, которая носит теперь его имя: из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые температуры нагревателей (T 1) и холодильников (T 2), наибольшим к. п. д. обладают обратимые машины; при этом к. п. д. обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей (T 1) и холодильников (T 2), равны друг другу и не зависят от природы рабочего тела (тела, которые совершают круговой процесс и обмениваются энергией с другими телами), а определяются только температурами нагревателя и холодильника. Карно теоретически проанализировал обратимый наиболее экономичный цикл, который состоит из двух изотерм и двух адиабат. Его называют циклом Карно. Рассмотрим прямой цикл Карно, в котором в качестве рабочего тела используется идеальный газ, который заключен в сосуд с подвижным поршнем. Рис.3 Цикл Карно представлен на рис. 3, где изотермические расширение и сжатие заданы соответственно кривыми 1-2 и 3-4, а адиабатические расширение и сжатие - кривыми 2-3 и 4-1. U=const при изотермическом процессе, поэтому, используя формулы термодинамики для изопроцессов, количество теплоты Q1, полученное газом от нагревателя, равно работе расширения А 12 , совершаемой газом при переходе из состояния 1 в состояние 2: (1) При адиабатическом расширении 2-3 теплообмен с окружающей средой отсутствует и работа расширения А 23 делается за счет изменения внутренней энергии: Количество теплоты Q 2 , которое отдано газом холодильнику при изотермическом сжатии, равно работе сжатия А 34: (2) Работа адиабатического сжатия Работа, совершаемая в результате кругового процесса, и, как можно показать, определяется площадью, заштрихованной на рис. 87. Термический к. п. д. цикла Карно Применив формулу TV γ-1 =const для адиабатического процесса 2-3 и 4-1, получим и откуда (3) Подставляя (1) и (2) в формулу для КПД для тепловогот процесса и учитывая (3), получаем (4) т. е. для цикла Карно КПД действительно определяется только температурами нагревателя и холодильника. Для повышения КПД нужно увеличивать разность температур нагревателя и холодильника. Например, при T 1 = 400 К и T 2 = 300 К η = 0,25. Если же температуру нагревателя повысить на 100 К, а температуру холодильника понизить на 50 К, то η = 0,5. КПД всякого реального теплового двигателя из-за действыующего трения и неизбежных тепловых потерь гораздо меньше вычисленного для цикла Карно. Обратный цикл Карно применяется при проектировании тепловых насосов. В отличие от холодильных машин тепловые насосы должны как можно больше тепловой энергии отдавать горячему телу, например системе отопления. Часть этой энергии отбирается от окружающей среды с более низкой температурой, а часть - получается за счет механической работы, производимой, например, компрессором. Теорема Карно также стала основанием для установления термодинамической шкалы температур. Сравнив левую и правую части формулы (4), получим (5) т. е. для сравнения температур Т 1 и T 2 двух тел необходимо произвести обратимый цикл Карно, в котором одно тело используется как нагреватель, другое как холодильник. Из равенства (5) мы видим, что отношение температур тел равно отношению отданного в этом цикле количества теплоты к полученному. По теореме Карно, химический состав рабочего тела не влияет на результаты сравнения температур, поэтому такая термодинамическая шкала не связана со свойствами какого-то конкретного термометрического тела. Обратим внимание, что таким образом сравнивать температуры практически трудно, так как реальные термодинамические процессы, как уже говорилось, являются необратимыми. |
