Как формируется закон сохранения полной механической энергии. Закон изменения и сохранения полной механической энергии

Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия механической работы или работы силы.

Если на тело действует сила и тело под действием этой силы перемещается, то говорят, что сила совершает работу.

Механическая работа – это скалярная величина, равная произведению модуля силы, действующей на тело, на модуль перемещения и на косинус угла между вектором силы и вектором перемещения (или скорости).

Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительна (0° ≤ α < 90°), так и отрицательна (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа, совершаемая силой, равна нулю.

В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж) . Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещении 1 м в направлении действия силы.

Работа силы, совершаемая в единицу времени, называется мощностью .

Мощность N – физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение которого совершена эта работа :

N=A/t

В Международной системе (СИ) единица мощности называется ватт (Вт) . Ватт равен мощности силы, совершающей работу в 1 Дж за время 1 с.

Внесистемная единица мощности 1 л.с.=735 Вт

Связь между мощностью и скоростью при равномерном движении :

N=A/t так как A=FScosα тогда N=(FScosα)/t, но S/t = v следовательно

N= F v cos α

В технике используются единицы работы и мощности:

1 Вт·с = 1 Дж; 1Вт·ч = 3,6·10 3 Дж; 1кВт·ч = 3,6·10 6 Дж

Если тело способно совершить работу, то говорят, что оно обладает энергией.

Механическая энергия тела – это скалярная величина, равная максимальной работе, которая может быть совершена в данных условиях.

Обозначается Е Единица энергии в СИ

Механическая работа есть мера изменения энергии в различных процессах А = ΔЕ.

Различают два вида механической энергии – кинетическая Ек и потенциальная Е p энергия.

Полная механическая энергия тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергий

Е = Ек + Е p

Кинетическая энергия – это энергия тела, обусловленная его движением.

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела :

Кинетическая энергия – это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой m , движущегося со скоростью равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость:

Если тело движется со скоростью , то для его полной остановки необходимо совершить работу

Наряду с кинетической энергией или энергией движения в физике важную роль играет понятиепотенциальной энергии или энергии взаимодействия тел .

Потенциальная энергия – энергия тела, обусловленная взаимным расположением взаимодействующих между собой тел или частей одного тела.

Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения тела и определяется только начальным и конечным положениями . Такие силы называются консервативными . Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю .

Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости . Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.

П отенциальная энергия тела в поле силы тяжести (потенциальная энергия тела, поднятого над землёй):

Ep = mgh

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Понятие потенциальной энергии можно ввести и для упругой силы . Эта сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая) пружину, мы можем делать это различными способами.

Можно просто удлинить пружину на величину x, или сначала удлинить ее на 2x, а затем уменьшить удлинение до значения x и т. д. Во всех этих случаях упругая сила совершает одну и ту же работу, которая зависит только от удлинения пружины x в конечном состоянии, если первоначально пружина была недеформирована. Эта работа равна работе внешней силы A, взятой с противоположным знаком:

где k – жесткость пружины.

Растянутая (или сжатая) пружина способна привести в движение прикрепленное к ней тело, то есть сообщить этому телу кинетическую энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии. Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела) называют величину

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.

Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно x1, тогда при переходе в новое состояние с удлинением x2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости.

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему , взаимодействуют между собой только силами тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным знаком:

A = –(Ep2 – Ep1).

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел:

Следовательно Ek2 – Ek1 = –(Ep2 – Ep1) или Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упругости, остается неизменной.

Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах. Он является следствием законов Ньютона.

Сумму E = Ek + Ep называют полной механической энергией .

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих между собой только консервативными силами, при любых движениях этих тел не изменяется. Происходят лишь взаимные превращения потенциальной энергии тел в их кинетическую энергию, и наоборот, или переход энергии от одного тела к другому.

Е = Ек + Е p = const

Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.

В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды.

Сила трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от длины пути.

Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).

Данный видеоурок предназначен для самостоятельного ознакомления с темой «Закон сохранения механической энергии». Вначале дадим определение полной энергии и замкнутой системы. Затем сформулируем Закон сохранения механической энергии и рассмотрим, в каких областях физики можно его применять. Также мы дадим определение работы и научимся её определять, рассмотрев связанные с ней формулы.

Темой урока является один из фундаментальных законов природы - закон сохранения механической энергии .

Мы ранее говорили о потенциальной и кинетической энергии, а также о том, что тело может обладать вместе и потенциальной, и кинетической энергией. Прежде чем говорить о законе сохранения механической энергии вспомним, что такое полная энергия. Полной механической энергией называют сумму потенциальной и кинетической энергий тела.

Также вспомним, что называют замкнутой системой. Замкнутая система - это такая система, в которой находится строго определенное количество взаимодействующих между собой тел и никакие другие тела извне на эту систему не действуют.

Когда мы определились с понятием полной энергии и замкнутой системы, можно говорить о законе сохранения механической энергии. Итак, полная механическая энергия в замкнутой системе тел, взаимодействующих друг с другом посредством сил тяготения или сил упругости (консервативных сил), остается неизменной при любом движении этих тел.

Мы уже изучали закон сохранения импульса (ЗСИ):

Очень часто случается так, что поставленные задачи можно решить только с помощью законов сохранения энергии и импульса.

Рассмотреть сохранение энергии удобно на примере свободного падения тела с некоторой высоты. Если некоторое тело находится в состоянии покоя на некоторой высоте относительно земли, то это тело обладает потенциальной энергией. Как только тело начинает свое движение, высота тела уменьшается, уменьшается и потенциальная энергия. При этом начинает нарастать скорость, появляется энергия кинетическая. Когда тело приблизилось к земле, то высота тела равна 0, потенциальная энергия тоже равна 0, а максимальной будет являться кинетическая энергия тела. Вот здесь и просматривается превращение потенциальной энергии в кинетическую (рис. 1). То же самое можно сказать о движении тела наоборот, снизу вверх, когда тело бросают вертикально вверх.

Рис. 1. Свободное падение тела с некоторой высоты

Дополнительная задача 1. «О падении тела с некоторой высоты»

Задача 1

Условие

Тело находится на высоте от поверхности Земли и начинает свободно падать. Определите скорость тела в момент соприкосновения с землей.

Решение 1:

Начальная скорость тела . Нужно найти .

Рассмотрим закон сохранения энергии.

Рис. 2. Движение тела (задача 1)

В верхней точке тело обладает только потенциальной энергией: . Когда тело приблизится к земле, то высота тела над землей будет равна 0, а это означает, что потенциальная энергия у тела исчезла, она превратилась в кинетическую:

Согласно закону сохранения энергии можем записать:

Масса тела сокращается. Преобразуя указанное уравнение, получаем: .

Окончательный ответ будет: . Если подставить все значение, то получим:.

Ответ: .

Пример оформления решения задачи:

Рис. 3. Пример оформления решения задачи № 1

Данную задачу можно решить еще одним способом, как движение по вертикали с ускорением свободного падения.

Решение 2 :

Запишем уравнение движения тела в проекции на ось :

Когда тело приблизится к поверхности Земли, его координата будет равна 0:

Перед ускорением свободного падения стоит знак «-», поскольку оно направлено против выбранной оси .

Подставив известные величины, получаем, что тело падало на протяжении времени . Теперь запишем уравнение для скорости:

Полагая ускорение свободного падения равным получаем:

Знак минус означает, что тело движется против направления выбранной оси.

Ответ: .

Пример оформления решения задачи № 1 вторым способом.

Рис. 4. Пример оформления решения задачи № 1 (способ 2)

Также для решения данной задачи можно было воспользоваться формулой, которая не зависит от времени:

Конечно, нужно отметить, что данный пример мы рассмотрели с учетом отсутствия сил трения, которые в реальности действуют в любой системе. Обратимся к формулам и посмотрим, как записывается закон сохранения механической энергии:

Дополнительная задача 2

Тело свободно падает с высоты . Определите, на какой высоте кинетическая энергия равна трети потенциальной ().

Рис. 5. Иллюстрация к задаче № 2

Решение:

Когда тело находится на высоте , оно обладает потенциальной энергией, и только потенциальной. Эта энергия определяется формулой: . Это и будет полная энергия тела.

Когда тело начинает двигаться вниз, уменьшается потенциальная энергия, но вместе с тем нарастает кинетическая. На высоте, которую нужно определить, у тела уже будет некоторая скорость V. Для точки, соответствующей высоте h, кинетическая энергия имеет вид:

Потенциальная энергия на этой высоте будет обозначена следующим образом: .

По закону сохранения энергии, у нас полная энергия сохраняется. Эта энергия остается величиной постоянной. Для точки мы можем записать следующее соотношение: (по З.С.Э.).

Вспоминая, что кинетическая энергия по условию задачи составляет , можем записать следующее: .

Обратите внимание: масса и ускорение свободного падения сокращается, после несложных преобразований мы получаем, что высота, на которой такое соотношение выполняется, составляет .

Ответ:

Пример оформления задачи 2.

Рис. 6. Оформление решения задачи № 2

Представьте себе, что тело в некоторой системе отсчета обладает кинетической и потенциальной энергией. Если система замкнутая, то при каком-либо изменении произошло перераспределение, превращение одного вида энергии в другой, но полная энергия остается по своему значению той же самой (рис. 7).

Рис. 7. Закон сохранения энергии

Представьте себе ситуацию, когда по горизонтальной дороге движется автомобиль. Водитель выключает мотор и продолжает движение уже с выключенным мотором. Что в этом случае происходит (рис. 8)?

Рис. 8. Движение автомобиля

В данном случае автомобиль обладает кинетической энергией. Но вы прекрасно знаете, что с течением времени автомобиль остановится. Куда девалась в этом случае энергия? Ведь потенциальная энергия тела в данном случае тоже не изменилась, она была какой-то постоянной величиной относительно Земли. Как произошло изменение энергии? В данном случае энергия пошла на преодоление сил трения. Если в системе встречается трение, то оно также влияет на энергию этой системы. Посмотрим, как записывается в данном случае изменение энергии.

Изменяется энергия, и это изменение энергии определяется работой против силы трения. Определить работу силы трения мы можем с помощью формулы, которая известна из 7 класса (сила и перемещение направлены противоположно):

Итак, когда мы говорим об энергии и работе, то должны понимать, что каждый раз мы должны учитывать и то, что часть энергии расходуется на преодоление сил трения. Совершается работа по преодолению сил трения. Работа является величиной, которая характеризует изменение энергии тела.

В заключение урока хотелось бы сказать, что работа и энергия по сути своей связанные величины через действующие силы.

Дополнительная задача 3

Два тела - брусок массой и пластилиновый шарик массой - движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями (). После столкновения пластилиновый шарик прилип к бруску, два тела продолжают движение вместе. Определить, какая часть механической энергии превратилась во внутреннюю энергию этих тел, с учетом того что масса бруска в 3 раза больше массы пластилинового шарика ().

Решение:

Изменение внутренней энергии можно обозначить . Как вы знаете, существует несколько видов энергии. Кроме механической, существует еще и тепловая, внутренняя энергия.

Полной механической энергией системы тел называется сумма кинетической и потенциальной энергий:

Изменение кинетической энергии системы равно суммарной работе всех сил, действующих на тела этой системы:

∆Eк = Aпот + Aнепот + Aвнеш (1)

Изменение потенциальной энергии системы равно работе потенциальных сил с обратным знаком:

∆Eп = - Aпот (2)

Очевидно, что изменение полной механической энергии равно:

∆E = ∆Eп + ∆Eк (3)

Из уравнений (1-3) получим, что изменение полной механической энергии равно суммарной работе всех внешних сил и внутренних не потенциальных сил.

∆Eк = Aвнеш + Aнепот (4)

Формула (4) представляет из себя закон изменения полной механической энергии системы тел.

В чем состоит закон сохранения механической энергии ? Закон сохранения механической энергии состоит в том, что полная механическая энергия замкнутой системы остается неизменной.

4) Вращательное движение. Момент импульса. Тензор инерции. Кинетическая энергия и момент импульса твёрдого тела. Теоремы Кёнига и Штейнера-Гюйгенса.

Вращательное движение.

Вращательное движение - вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной.

При равномерном вращении (T оборотов в секунду),

§ Частота вращения - число оборотов тела в единицу времени.

,

§ Период вращения - время одного полного оборота. Период вращения T и его частота связаны соотношением .

§ Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения

§ Угловая скорость вращения тела

.

§ Кинетическая энергия вращательного движения

где I z - момент инерции тела относительно оси вращения. - угловая скорость

Момент импульса.

Момент импульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, не лежащей на линии движения, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую, пожалуй, роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:

где - радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, - импульс частицы.

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса):

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело:

Тензор инерции.

Тензор инерции - в механике абсолютно твёрдого тела - тензорная величина, связывающая момент импульса тела и кинетическую энергию его вращения с его угловой скоростью:

где - тензор инерции, - угловая скорость, - момент импульса

Кинетическая энергия.

Кинетическая энергия - энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Единица измерения в системе СИ - Джоуль. Кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения.

Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

где: - масса тела, - скорость центра масс тела, - момент инерции тела, - угловая скорость тела.

Теорема Кёнига.

Теорема Кёнига позволяет выразить полную кинетическую энергию системы через энергию движения центра масс и энергию движения относительно центра масс.

Кинетическая энергия системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

,

где - полная кинетическая энергия, - энергия движения центра масс, - относительная кинетическая энергия.

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы во вращательном движении относительно центра масс.

Теорема Штейнера-Гюйгенса.

Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

Где - известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела, - искомый момент инерции относительно параллельной оси, - масса тела, - расстояние между указанными осями.

5) Система двух частиц. Приведённая масса. Центральное поле. Законы Кеплера.

Приведённая масса.

Приведённая масса - условная характеристика распределения масс в движущейся механической системе, зависящая от физических параметров системы (масс, моментов инерции, и др.) и от её закона движения.

Обычно приведенная масса определяется из равенства , где - кинетическая энергия системы, а - скорость той точки системы, к которой приводится масса. В более общем виде приведённая масса является коэффициентом инерции в выражении кинетической энергии системы со стационарными связями, положение которой определяется обобщёнными координатами

где точка означает дифференцирование по времени, а есть функции обобщённых координат.

Система двух частиц.

Задача двух тел состоит в том, чтобы определить движение двух точечных частиц, которые взаимодействуют только друг с другом. Распространённые примеры включают спутник, обращающийся вокруг планеты, планета, обращающаяся вокруг звезды.

Задачу двух тел можно представить как две независимых задачи одного тела, которые привлекают решение для движения одной частицы во внешнем потенциале. Так как многие задачи с одним телом могут быть решены точно, соответствующая задача с двумя телами также может быть решена. В отличие от этого, задача с тремя телами (и, более широко, задача n тел) не может быть решена, кроме специальных случаев.

В задаче двух тел, возникающей, например, в небесной механике или теории рассеяния, приведённая масса появляется как некая эффективная масса, когда задачу двух тел сводят к двум задачам об одном теле. Рассмотрим два тела: одно с массой и другое с массой . В эквивалентной проблеме одного тела рассматривают движение тела с приведённой массой, равной

где сила, действующая на эту массу, дается силой, действующей между этими двумя телами. Видно, что приведённая масса равна половине среднего гармонического двух масс.

Центральное поле.

Сведя задачу о движении двух тел к задаче о движении одного тела, мы пришли к вопросу об определении движения частицы во внешнем поле, в котором ее потенциальная энергия зависит только от расстояния до определенной неподвижной точки; такое поле называют центральным. Сила

действующая на частицу, по абсолютной величине зависит при этом тоже только от и направлена в каждой точке вдоль радиус-вектора.

При движении в центральном поле сохраняется момент системы относительно центра поля. Для одной частицы это есть

Законы Кеплера.

Законы Кеплера - три эмпирических соотношения. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты. В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом / → 0, где , - массы планеты и Солнца.

1. Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

3. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

6) Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа. Обобщённые импульсы, энергия. Циклические координаты. Фукнция Гамильтона и уравнения Гамильтона.

Функция Лагранжа.

7) Гармонические колебания. Амплитуда. Частота. Пружинный маятник, математический маятник, физический маятник.

Гармонические колебания.

Гармоническое колебание - явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

где х - значение изменяющейся величины, t - время, остальные параметры - постоянные: А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота колебаний, - полная фаза колебаний, - начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

(Любое нетривиальное решение этого дифференциального уравнения - есть гармоническое колебание с циклической частотой )

§ Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).

§ Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).

Амплитуда.

Амплитуда - максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения при колебательном или волновом движении. Неотрицательная скалярная величина, размерность которой совпадает с размерностью определяемой физической величины.

Иначе: Амплитуда - модуль максимального отклонения тела от положения равновесия. Например:

§ амплитуда для механического колебания тела (вибрация), для волн на струне или пружине - это расстояние и записывается в единицах длины.

Частота.

Частота - физическая величина, характеристика периодического процесса, равная числу полных циклов процесса, совершённых за единицу времени. Стандартные обозначения в формулах - , , или . Единицей частоты в СИ в общем случае является Гц. Величина, обратная частоте, называется периодом.

В природе известны периодические процессы с частотами от ~10 −16 Гц (частота обращения Солнца вокруг центра Галактики) до ~10 35 Гц (частота колебаний поля, характерная для наиболее высокоэнергичных космических лучей).

Пружинный маятник.

Пружинный маятник - механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Когда на массивное тело действует упругая сила, возвращающая его в положение равновесия, оно совершает колебания около этого положения. Такое тело называют пружинным маятником. Колебания возникают под действием внешней силы. Колебания, которые продолжаются после того, как внешняя сила перестала действовать, называют свободными. Колебания, обусловленные действием внешней силы, называют вынужденными. При этом сама сила называется вынуждающей.

В простейшем случае пружинный маятник представляет собой движущееся по горизонтальной плоскости твердое тело, прикрепленное пружиной к стене.

Математический маятник.

Математический маятник - осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит от амплитуды и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем - система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Физический маятник.

Физический маятник - осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

8) Колебания с трением. Диссипативная функция.

В реальных системах всегда происходит диссипация энергии. Если потери энергии не будут компенсироваться за счет внешних устройств, то колебания с течением времени будут затухать и через какое-то время прекратятся вообще. Рассмотрим колебания пружинного маятника в вязкой среде.

Для тела, движущегося в однородной вязкой среде, сила трения зависит только от скорости. При малых скоростях можно считать, что сила трения

, где бета – положительный постоянный коэффициент.

К энергии

Выводы.

· Характер собственных колебаний при наличии силы трения определяется соотношением между и . При – апериодический режим (3); – колебания описываются периодическим законом c экспоненциально убывающей от времени амплитудой (4); – режим критического затухания (5).

· Добротность колебательной системы является очень важным параметром, характеризующим диссипационные процессы в системе.

Диссипативная функция (функция рассеяния) - функция, вводимая для учёта перехода энергии упорядоченного движения в энергию неупорядоченного движения, в конечном счёте - в тепловую, например, для учёта влияния сил вязкого трения на движение механической системы. Диссипативная функция характеризует степень убывания механической энергии этой системы. Диссипативная функция, делённая на абсолютную температуру, определяет скорость, с которой возрастает энтропия в системе (т. н. производство энтропии). Диссипативная функция имеет размерность мощности.

9) Вынужденные колебания без трения. Биения. Резонанс.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20

Данный видеоурок предназначен для самостоятельного ознакомления с темой «Закон сохранения механической энергии». Вначале дадим определение полной энергии и замкнутой системы. Затем сформулируем Закон сохранения механической энергии и рассмотрим, в каких областях физики можно его применять. Также мы дадим определение работы и научимся её определять, рассмотрев связанные с ней формулы.

Темой урока является один из фундаментальных законов природы - закон сохранения механической энергии .

Мы ранее говорили о потенциальной и кинетической энергии, а также о том, что тело может обладать вместе и потенциальной, и кинетической энергией. Прежде чем говорить о законе сохранения механической энергии вспомним, что такое полная энергия. Полной механической энергией называют сумму потенциальной и кинетической энергий тела.

Также вспомним, что называют замкнутой системой. Замкнутая система - это такая система, в которой находится строго определенное количество взаимодействующих между собой тел и никакие другие тела извне на эту систему не действуют.

Когда мы определились с понятием полной энергии и замкнутой системы, можно говорить о законе сохранения механической энергии. Итак, полная механическая энергия в замкнутой системе тел, взаимодействующих друг с другом посредством сил тяготения или сил упругости (консервативных сил), остается неизменной при любом движении этих тел.

Мы уже изучали закон сохранения импульса (ЗСИ):

Очень часто случается так, что поставленные задачи можно решить только с помощью законов сохранения энергии и импульса.

Рассмотреть сохранение энергии удобно на примере свободного падения тела с некоторой высоты. Если некоторое тело находится в состоянии покоя на некоторой высоте относительно земли, то это тело обладает потенциальной энергией. Как только тело начинает свое движение, высота тела уменьшается, уменьшается и потенциальная энергия. При этом начинает нарастать скорость, появляется энергия кинетическая. Когда тело приблизилось к земле, то высота тела равна 0, потенциальная энергия тоже равна 0, а максимальной будет являться кинетическая энергия тела. Вот здесь и просматривается превращение потенциальной энергии в кинетическую (рис. 1). То же самое можно сказать о движении тела наоборот, снизу вверх, когда тело бросают вертикально вверх.

Рис. 1. Свободное падение тела с некоторой высоты

Дополнительная задача 1. «О падении тела с некоторой высоты»

Задача 1

Условие

Тело находится на высоте от поверхности Земли и начинает свободно падать. Определите скорость тела в момент соприкосновения с землей.

Решение 1:

Начальная скорость тела . Нужно найти .

Рассмотрим закон сохранения энергии.

Рис. 2. Движение тела (задача 1)

В верхней точке тело обладает только потенциальной энергией: . Когда тело приблизится к земле, то высота тела над землей будет равна 0, а это означает, что потенциальная энергия у тела исчезла, она превратилась в кинетическую:

Согласно закону сохранения энергии можем записать:

Масса тела сокращается. Преобразуя указанное уравнение, получаем: .

Окончательный ответ будет: . Если подставить все значение, то получим:.

Ответ: .

Пример оформления решения задачи:

Рис. 3. Пример оформления решения задачи № 1

Данную задачу можно решить еще одним способом, как движение по вертикали с ускорением свободного падения.

Решение 2 :

Запишем уравнение движения тела в проекции на ось :

Когда тело приблизится к поверхности Земли, его координата будет равна 0:

Перед ускорением свободного падения стоит знак «-», поскольку оно направлено против выбранной оси .

Подставив известные величины, получаем, что тело падало на протяжении времени . Теперь запишем уравнение для скорости:

Полагая ускорение свободного падения равным получаем:

Знак минус означает, что тело движется против направления выбранной оси.

Ответ: .

Пример оформления решения задачи № 1 вторым способом.

Рис. 4. Пример оформления решения задачи № 1 (способ 2)

Также для решения данной задачи можно было воспользоваться формулой, которая не зависит от времени:

Конечно, нужно отметить, что данный пример мы рассмотрели с учетом отсутствия сил трения, которые в реальности действуют в любой системе. Обратимся к формулам и посмотрим, как записывается закон сохранения механической энергии:

Дополнительная задача 2

Тело свободно падает с высоты . Определите, на какой высоте кинетическая энергия равна трети потенциальной ().

Рис. 5. Иллюстрация к задаче № 2

Решение:

Когда тело находится на высоте , оно обладает потенциальной энергией, и только потенциальной. Эта энергия определяется формулой: . Это и будет полная энергия тела.

Когда тело начинает двигаться вниз, уменьшается потенциальная энергия, но вместе с тем нарастает кинетическая. На высоте, которую нужно определить, у тела уже будет некоторая скорость V. Для точки, соответствующей высоте h, кинетическая энергия имеет вид:

Потенциальная энергия на этой высоте будет обозначена следующим образом: .

По закону сохранения энергии, у нас полная энергия сохраняется. Эта энергия остается величиной постоянной. Для точки мы можем записать следующее соотношение: (по З.С.Э.).

Вспоминая, что кинетическая энергия по условию задачи составляет , можем записать следующее: .

Обратите внимание: масса и ускорение свободного падения сокращается, после несложных преобразований мы получаем, что высота, на которой такое соотношение выполняется, составляет .

Ответ:

Пример оформления задачи 2.

Рис. 6. Оформление решения задачи № 2

Представьте себе, что тело в некоторой системе отсчета обладает кинетической и потенциальной энергией. Если система замкнутая, то при каком-либо изменении произошло перераспределение, превращение одного вида энергии в другой, но полная энергия остается по своему значению той же самой (рис. 7).

Рис. 7. Закон сохранения энергии

Представьте себе ситуацию, когда по горизонтальной дороге движется автомобиль. Водитель выключает мотор и продолжает движение уже с выключенным мотором. Что в этом случае происходит (рис. 8)?

Рис. 8. Движение автомобиля

В данном случае автомобиль обладает кинетической энергией. Но вы прекрасно знаете, что с течением времени автомобиль остановится. Куда девалась в этом случае энергия? Ведь потенциальная энергия тела в данном случае тоже не изменилась, она была какой-то постоянной величиной относительно Земли. Как произошло изменение энергии? В данном случае энергия пошла на преодоление сил трения. Если в системе встречается трение, то оно также влияет на энергию этой системы. Посмотрим, как записывается в данном случае изменение энергии.

Изменяется энергия, и это изменение энергии определяется работой против силы трения. Определить работу силы трения мы можем с помощью формулы, которая известна из 7 класса (сила и перемещение направлены противоположно):

Итак, когда мы говорим об энергии и работе, то должны понимать, что каждый раз мы должны учитывать и то, что часть энергии расходуется на преодоление сил трения. Совершается работа по преодолению сил трения. Работа является величиной, которая характеризует изменение энергии тела.

В заключение урока хотелось бы сказать, что работа и энергия по сути своей связанные величины через действующие силы.

Дополнительная задача 3

Два тела - брусок массой и пластилиновый шарик массой - движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями (). После столкновения пластилиновый шарик прилип к бруску, два тела продолжают движение вместе. Определить, какая часть механической энергии превратилась во внутреннюю энергию этих тел, с учетом того что масса бруска в 3 раза больше массы пластилинового шарика ().

Решение:

Изменение внутренней энергии можно обозначить . Как вы знаете, существует несколько видов энергии. Кроме механической, существует еще и тепловая, внутренняя энергия.

 Теория: Энергия никуда не исчезает, она из одного вида превращается в другой, и из ниоткуда она не возникает.
Энергия способна переходить в механическую работу или в .
Полная энергия замкнутой системы величина постоянная: E=E к +E п

Например: тело массой 2 кг поднимем на высоту 1 метр, на этой высоте потенциальная тела E п =mgh=20 Дж, по мере падения тела, высота уменьшается, потенциальная энергия так же уменьшается. При этом скорость тела начинает увеличиваться, в следствии чего и кинетическая энергия увеличивается. Получается, что энергия из потенциальной переходит в кинетическую. В момент касания поверхности, потенциальная энергия равна нулю, кинетическая максимальна и равна так же как в начале 20 Дж. Если тело упруго отразится, то по мере поднятия на высоту, кинетичесская энергия будет уменьшаться, и переходить в потенциальную.

Задания:  Мяч бросают вертикально вверх с поверхности Земли. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. При увеличении начальной скорости мяча в 2 раза высота подъёма мяча
  1) увеличится в √ 2 раза
 2) увеличится в 2 раза
  3) увеличится в 4 раза
 4) не изменится

Задание: Пуля, движущаяся со скоростью 600 м/с, пробила доску толщиной 1,5 см и на выходе из доски имела скорость 300 м/с. Определите массу пули, если средняя сила сопротивления, воздействующая на пулю в доске, равна 81 кН.

Тело массой m, брошенное с Земли вертикально вверх с начальной скоростью υ 0 , поднялось на высоту h 0 . Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Полная механическая энергия тела на некоторой промежуточной высоте h равна

Решение: Поскольку сопротивление воздуха пренебрежимо мало, следовательно полная энергия системы не изменяется. Полная механическая энергия тела на некоторой промежуточной высоте h равна энергии на максимальной высоте mgh 0 .
Ответ: 2
Задание ОГЭ по физике (фипи): Шарик движется вниз по наклонному желобу без трения. Какое из следующих утверждений об энергии шарика верно при таком движении?
1) Кинетическая энергия шарика увеличивается, его полная механическая энергия не изменяется.
2) Потенциальная энергия шарика увеличивается, его полная механическая энергия не изменяется.
3) И кинетическая энергия, и полная механическая энергия шарика увеличиваются.
4) И потенциальная энергия, и полная механическая энергия шарика уменьшаются.
Решение: При движении вниз, скорость шарика увеличивается. Следовательно кинетическая энергия увеличивается. Так как трения нет, и систему можно считать замкнутой, то полная механическая энергия не изменяется.
Ответ: 1
Задание ОГЭ по физике (фипи): Товарный вагон, движущийся по горизонтальному пути с небольшой скоростью, сталкивается с другим вагоном и останавливается. При этом пружина буфера сжимается. Какое из перечисленных ниже преобразований энергии происходит в этом процессе?
1) кинетическая энергия вагона преобразуется в потенциальную энергию пружины
2) кинетическая энергия вагона преобразуется в его потенциальную энергию
3) потенциальная энергия пружины преобразуется в её кинетическую энергию
4) внутренняя энергия пружины преобразуется в кинетическую энергию вагона
Решение: Сначала вагон двигался, значит у него была кинетическая энергия. При сталкновении пружина сжалась, т.е. кинетическая энергия вагона преобразуется в потенциальную энергию пружины