Определение:

Суммой и произведением целых р-адических чисел определяемых последовательностями и, называются целые р-адические числа, определяемые соответственно последовательностями и.

Чтобы быть уверенным в корректности этого определения,мы должны доказать,что последовательности и определяют некоторые целые - адические числа и что эти числа зависят только от, а не от выбора определяющих их последовательностей. Оба эти свойства доказываются путем очевидной проверки.

Очевидно,что при данном нам определении действий над целыми - адическими числами они образуют коммуникативное кольцо, содержащее кольцо целых рациональных чисел в качестве подкольца.

Делимость целых - адических чисел определяется так же,как и в любом другом кольце: , если существует такое целое - адическое число, что

Для исследования свойств деления важно знать, каковы те целые - адические числа,для которых существуют обратные целые - адические числа. Такие числа называют делителями единицы или единицами. Мы их будем называть - адическими единицами.

Теорема 1 :

Целое - адическое число,определяемое последовательностью, тогда и только тогда является единицей, когда.

Доказательство :

Пусть является единицей, тогда существует такое целое - адическое число, что. Если определяется последовательностью то условие означает,что. В частности, а значит, Обратно, пусть Из условия легко следует, что, так что. Следовательно, для любого n можно найти такое, что будет справедливо сравнение. Так как и, то. Это значит, что последовательность определяет некоторое целое - адическое число Сравнения показывают, что, т.е. что является единицей.

Из доказанной теоремы следует, что целое рациональное число. Будучи рассмотрено как элемент кольца, тогда и только тогда является единицей, когда. Если это условие выполнено,то содержится в. Отсюда следует, что любое целое рациональное b делитсяна такое a в,т.е. что любое рациональное число вида b/a, где a и b целые и, содержится в Рациональные числа такого вида называются -целыми. Они образуют очевидным образом кольцо. Полученный нами результат можно теперь сформулировать так:

Следствие:

Кольцо целых - адических чисел содержит подкольцо, изоморфное кольцу - целых рациональных чисел.

Дробные p-адические числа

Определение :

Дробь вида, k >= 0 определяет дробное p -адическое число или просто p -адическое число. Две дроби, и, определяют одно и тоже p -адическое число, если в.

Совокупность всех p -адических чисел обозначается p . Легко проверить, что операции сложения и умножения продолжаются с p на p и превращают p в поле.

2.9. Теорема. Всякое p -адическое число единственным образом представляется в виде

где m -- целое число, а -- единица кольца p .

2.10. Теорема. Всякое отличное от нуля p -адическое число однозначно представляется в виде

Свойства: Поле p-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел. Нетрудно доказать, что любое целое p-адическое число некратное p обратимо в кольце p , а кратное p однозначно записывается в виде, где x не кратно p и поэтому обратимо, а. Поэтому любой ненулевой элемент поля p может быть записан в виде, где x не кратно p, а m любое; если m отрицательно, то, исходя из представления целых p-адических чисел в виде последовательности цифр в p-ичной системе счисления, мы можем записать такое p-адическое число в виде последовательности, то есть, формально представить в виде p-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Опр. Кольцо K называется кольцом целых чисел, если аддитивная группа кольца K является аддитивной группой целых чисел и умножение в кольце K коммутативно и продолжает умножение натуральных чисел (в системе N натуральных чисел).

Т1. Пусть - аддитивная группа целых чисел, есть естественное умножение в ней и 1 – единица системы N натуральных чисел. Тогда алгебра Z=является кольцом целых чисел.

Док-во. Покажем, что алгебра Z есть коммутативное кольцо. По условию, алгебра - аддитивная группа кольца – есть абелева группа, как аддитивная группа целых чисел.

Пусть a, b, c – произвольные элементы множества Z. Их можно представить в виде радости натуральных чисел. Пусть (1) a=m-n, b=p-q, c=r-s (m, n, p, q, r, s N).

Естественное умножение в Z определяется формулой (2) a*b=(m-n)*(p-q)=(mp+nq)-(mq+np).

Естественное умножение коммутативно, так как b*a= (p-q)*(m-n)=(pm+qn)-(pn+qm), и коммутативно сложение и умножение натуральных чисел.

Естественное умножение ассоциативно. В самом деле, в силу (1) и (2) имеем:

a*(b*c)=(m-n)[(p-q)(r-s)]=(m-n)[(pr+qs)-(ps-qr)]=(mpr+mqs+nps+nqr)-(mps+mqr+npr+nqs);

(a*b)*c=[(m-n)(p-q)](r-s)=[(mp+nq)-(mq+np)](r-s)=(mpr+nqr+mqs+nps)-(mps+nqs+mqr+npr).

Следовательно, в силу коммутативности сложения натуральных чисел a*(b*c)= (a*b)*c.

Элемент 1 является нейтральным относительно естественного умножения. В самом деле, для любого a из 2 имеем a*1=(m-n)(1-0)=m*1-n*1=m-n=a.

Следовательно, алгебра является коммутативным моноидом.

Опр. Если для целых чисел aи bсуществует такое натуральное число k, что a+k=bи k 0,то говорят, что «a меньше или b», и пишут ab тогда и только тогда, когда b

Т2. Пусть Z=кольцо целых чисел. Тогда: 1) для любых целых чисел a и b выполняется одно и только одно из трех услоий: a

2) для любого целого числа a выполняется одно и только одно из трех условий: a<0, a=0, 0

3) отношение < монотонно относительно сложения, т.е. для любых целых a, bи c

a

4) отношение <монотонно относительно умножения, т.е. для любых целых a, bи с

если a0, то ac

Т. о делении с остатком. Пусть a – целое число и b – натуральное число, отличное от нуля. Разделить число a и b с остатком – значит представить его в виде a=bq+r, где 0 r

Деление с остатком всегда выполнимо, а неполное частное и остаток однозначно определяются делимым и делителем.

Т. Для любых целых чисел a, bпри b>0существует единственная пара целых чисел qи r, удовлетворяющая условиям: (1) a=bq+rи 0 r

Док-во. Докажем, что существует хотя бы одна пара чисел q, r удовлетворяющая условиям (1). Вначале рассмотрим случай, когда a – натуральное число. Фиксируем b и индукцией по a докажем, что (2) существует пара целых чисел q, r, удовлетворяющая (1).

Для a=0 утверждение (2) верно, так как 0=b*0+0. Предположим, что (2) верно для a=n, т.е. существуют целые q, rтакие, что (3) n=bq+rи 0 r

Наибольший общий делитель. Целое число c называется общим делителем целых чисел a 1 , …, a n , если cесть делитель каждого из этих чисел.

Опр. Наибольшим общим делителем целых чисел a 1 , …, a n называется такой их общий делитель, который делится на любой общий делитель этих чисел.

Целые числа a 1 , …, a n называется взаимно простыми, если их наибольший общий делитель чисел равен единице.

НОД чисел a 1 , …, a n обозначается НОД(a 1 , …, a n), положительный НОД этих чисел обозначается нод(a 1 , …, a n).

След-ие 1. Если d есть НОД целых чисел a 1 , …, a n , то множество всех общих делителей этих чисел совпадает с множеством всех делителей числа d.

След-ие 2. Любые два НОД целых чисел a 1 , …, a n ассоциированы, т.е. могут отличаться только знаком. Если d есть НОД чисел a 1 , …, a n , то число (-d) также есть НОД этих чисел.

Алгоритм Евклида. Способ нахождения НОД двух целых чисел.

Предложение. Пусть aи b–два целых числа, b≠0 и (1) a=bq+r (0 r<|b|).

Тогда нод(a,b)=нод(b,r).

Док-во. Из (1) следует, что любой общий делитель чисел aи bесть делитель числа r=a-bqи любой общий делитель чисел bи rесть делитель числа a. Поэтому множество всех общих делителей чисел aи bсовпадает с множеством всех общих делителей чисел bи r. Отсюда следует, что положительный общий делитель чисел aи bсовпадает с положительным общим делителем чисел bи r, т.е. нод(a,b)=нод(b,r).

Если b|a, где b≥1, то очевидно, нод(a,b)=b. Для нахождения нод двух целых чисел применяют способ «последовательного деления», называемый алгоритмом Евклида. Сущность этого способа состоит в том, что в силу доказанного выше предложения задача нахождения нод чисел a и bсводится к более простой задаче нахождения нод чисел bи r, где 0≤r<|b|. Если r=0, то нод(a,b)=b. Если же r≠0, то рассуждения повторяем, отправляясь от bи r. В результате получим цепочку равенств.

Если a=0, то b=0*c=0 и теорема верна. Если же a≠0, то из (1) следует cd=1. По теореме, из равенства cd=1 следует, что d= 1. Кроме того, a=bd; следовательно, a= b. Доказано.

Наименьшее общее кратное. Целое число cназывается общим кратным целых чисел a 1 , …, a n , если оно делится на каждое из этих чисел.

Опр. Наименьшим общим кратным целых чисел a 1 , …, a n называется такое их общее кратное, которое делит любое общее кратное этих чисел. Об-ие: НОК(a 1 , …, a n). Положительное наименьшее общее кратное чисел a 1 , …, a n , отличных от нуля, об-ся через .

Сл-ие. Любые два наименьших общих кратных целых чисел a 1 , …, a n ассоциированы в Z, т.е. могут отличаться только знаком. Если число mесть НОК(a 1 , …, a n), то и число (-m) есть НОК(a 1 , …, a n).

Сл-ие. Если m – наименьшее общее кратное чисел a 1 , …, a n , то множество всех общих кратных этих чисел совпадает с множеством всех кратных числа m.

Примеры

• Более общо, для любого свободного от квадратов целого числа d {\displaystyle d} Q (d) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} будет квадратичным расширением поля Q {\displaystyle \mathbb {Q} } .
• Круговое поле Q (ζ n) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} получается добавлением в Q {\displaystyle \mathbb {Q} } примитивного корня n -й степени из единицы. Поле должно содержать и все его степени (то есть все корни n -й степени из единицы), его размерность над Q {\displaystyle \mathbb {Q} } равняется функции Эйлера φ (n) {\displaystyle \varphi (n)} .
• Действительные и комплексные числа имеют бесконечную степень над рациональными, поэтому они не являются числовыми полями. Это следует из несчетности: любое числовое поле является счётным .
• Поле всех алгебраических чисел A {\displaystyle \mathbb {A} } не является числовым. Хотя расширение A ⊃ Q {\displaystyle \mathbb {A} \supset \mathbb {Q} } алгебраично, оно не является конечным.

Кольцо целых числового поля

Поскольку числовое поле является алгебраическим расширением поля Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , любой его элемент является корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами (то есть является алгебраическим). Более того, каждый элемент является корнем многочлена с целыми коэффициентами, так как можно домножить все рациональные коэффициенты на произведение знаменателей. Если же данный элемент является корнем некоторого унитарного многочлена с целыми коэффициентами, он называется целым элементом (или алгебраическим целым числом). Не все элементы числового поля целые: например, легко показать что единственные целые элементы Q {\displaystyle \mathbb {Q} } - это обычные целые числа .

Можно доказать, что сумма и произведение двух алгебраических целых чисел - снова алгебраическое целое число, поэтому целые элементы образуют подкольцо числового поля K {\displaystyle K} , называемое кольцом целых поля K {\displaystyle K} и обозначаемое . Поле не содержит делителей нуля и это свойство наследуется при переходе к подкольцу, поэтому кольцо целых целостно ; поле частных кольца O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} - это само поле K {\displaystyle K} . Кольцо целых любого числового поля обладает следующими тремя свойствами: оно целозамкнуто , нётерово и одномерно . Коммутативное кольцо с такими свойствами называется дедекиндовым в честь Рихарда Дедекинда .

Разложение на простые и группа классов

В произвольном дедекиндовом кольце существует и единственно разложение ненулевых идеалов в произведение простых . Однако не любое кольцо целых удовлетворяет свойству факториальности : уже для кольца целых квадратичного поля O Q (− 5) = Z [ − 5 ] {\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} разложение не единственно:

Введя на этом кольце норму, можно показать, что эти разложения действительно различны, то есть одно нельзя получить из другого умножением на обратимый элемент .

Степень нарушения свойства факториальности измеряют при помощи группы классов идеалов , эта группа для кольца целых всегда конечна и её порядок называют числом классов.

Базисы числового поля

Целый базис

Целый базис числового поля F степени n - это множество

из n элементов кольца целых поля F , такое что любой элемент кольца целых O F поля F можно единственным способом записать как Z -линейную комбинацию элементов B ; то есть для любого x из O F существует и единственно разложение

где m i - обычные целые числа. В этом случае любой элемент F можно записать как

где m i - рациональные числа. После это целые элементы F выделяются тем свойством, что это в точности те элементы, для которых все m i целые.

Используя такие иструменты как локализация и эндоморфизм Фробениуса , можно построить такой базис для любого числового поля. Его построение является встроенной функцией во многих системах компьютерной алгебры .

Степенной базис

Пусть F - числовое поле степени n . Среди всех возможных базисов F (как Q -векторного пространства), существуют степенные базисы, то есть базисы вида

для некоторого x ∈ F . Согласно теореме о примитивном элементе , такой x всегда существует, его называют примитивным элементом данного расширения.

Норма и след

Алгебраическое числовое поле является конечномерным векторным пространством над Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (обозначим его размерность за n {\displaystyle n} ), и умножение на произвольный элемент поля является линейным преобразованием этого пространства. Пусть e 1 , e 2 , … e n {\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots e_{n}} - какой-нибудь базис F , тогда преобразованию x ↦ α x {\displaystyle x\mapsto \alpha x} соответствует матрица A = (a i j) {\displaystyle A=(a_{ij})} , определяемая условием

α e i = ∑ j = 1 n a i j e j , a i j ∈ Q . {\displaystyle \alpha e_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbf {Q} .}

Элементы этой матрицы зависят от выбора базиса, однако от него не зависят все инварианты матрицы, такие как определитель и след . В контексте алгебраических расширений, определитель матрицы умножения на элемент называется нормой этого элемента (обозначается N (x) {\displaystyle N(x)} ); след матрицы - следом элемента (обозначается Tr (x) {\displaystyle {\text{Tr}}(x)} ).

След элемента является линейным функционалом на F :

Норма является мультипликативной и однородной функцией:

В качестве исходного базиса можно выбрать целый базис , умножению на целое алгебраическое число (то есть на элемент кольца целых ) в этом базисе будет соответствовать матрица с целыми элементами. Следовательно, след и норма любого элемента кольца целых являются целыми числами.

Пример использования нормы

Пусть d {\displaystyle d} - - целый элемент, так как он является корнем приведенного многочлена x 2 − d {\displaystyle x^{2}-d} ). В этом базисе умножению на a + b d {\displaystyle a+b{\sqrt {d}}} соответствует матрица

Следовательно, N (a + b d) = a 2 − d b 2 {\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}} . На элементах кольца эта норма принимает целые значения. Норма является гомоморфизмом мультипликативной группы Z [ d ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]} на мультипликативную группу Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , поэтому норма обратимых элементов кольца может быть равна только 1 {\displaystyle 1} или − 1 {\displaystyle -1} . Для того, чтобы решить уравнение Пелля a 2 − d b 2 = 1 {\displaystyle a^{2}-db^{2}=1} , достаточно найти все обратимые элементы кольца целых (также называемые единицами кольца ) и выделить среди них имеющие норму 1 {\displaystyle 1} . Согласно теореме Дирихле о единицах , все обратимые элементы данного кольца являются степенями одного элемента (с точностью до умножения на − 1 {\displaystyle -1} ), поэтому для нахождения всех решений уравнения Пелля достаточно найти одно фундаментальное решение.

См. также

Литература

• Х. Кох. Алгебраическая теория чисел . - М. : ВИНИТИ , 1990. - Т. 62. - 301 с. - (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
• Чеботарев Н.Г. Основы теории Галуа. Часть 2. - М. : Едиториал УРСС, 2004.
• Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ.. - М. : Едиториал УРСС, 2011.
• Serge Lang , Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000

В различных разделах математики, а также в применении математики в технике, часто встречается ситуация, когда алгебраические операции производятся не над числами, а над объектами иной природы. Например сложение матриц, умножение матриц, сложение векторов, операции над многочленами, операции над линейными преобразованиями и т.д.

Определение 1. Кольцом называется множество математических объектов, в котором определены два действия − "сложение" и "умножение", которые сопоставляют упорядоченным парам элементов их "сумму" и "произведение", являющиеся элементами того же множества. Данные действия удовлетворяют следующим требованиям:

1. a+b=b+a (коммутативность сложения).

2. (a+b)+c=a+(b+c) (ассоциативность сложения).

3. Существует нулевой элемент 0 такой, что a +0=a , при любом a .

4. Для любого a существует противоположный элемент −a такой, что a +(−a )=0.

5. (a+b)c=ac+bc (левая дистрибутивность).

5". c(a+b)=ca+cb (правая дистрибутивность).

Требования 2, 3, 4 означают, что множество математических объектов образует группу , а вместе с пунктом 1 мы имеем дело с коммутативной (абелевой) группой относительно сложения.

Как видно из определения, в общем определении кольца на умножения не накладывается никаких ограничений, кроме дистрибутивности со сложением. Однако при различных ситуациях возникает необходимость рассматривать кольца с дополнительными требованиями.

6. (ab)c=a(bc) (ассоциативность умножения).

7. ab=ba (коммутативность умножения).

8. Существование единичного элемента 1, т.е. такого a ·1=1·a=a , для любого элемента a .

9. Для любого элемента элемента a существует обратный элемент a −1 такой, что aa −1 =a −1 a= 1.

В различных кольцах 6, 7, 8, 9 могут выполняться как отдельно так и в различных комбинациях.

Кольцо называется ассоциативным, если выполняется условие 6, коммутативным, если выполнено условие 7, коммутативным и ассоциативным если выполнены условия 6 и 7. Кольцо называется кольцом с единицей, если выполнено условие 8.

Примеры колец:

1. Множество квадратных матриц.

Действительно. Выполнение пунктов 1-5, 5" очевидна. Нулевым элементом является нулевая матрица. Кроме этого выполняется пункт 6 (ассоциативность умножения), пункт 8 (единичным элементом является единичная матрица). Пункты 7 и 9 не выполняются т.к. в общем случае умножение квадратных матриц некоммутативна, а также не всегда существует обратное к квадратной матрице.

2. Множество всех комплексных чисел.

3. Множество всех действительных чисел.

4. Множество всех рациональных чисел.

5. Множество всех целых чисел.

Определение 2. Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение любых двух своих чисел, называется числовым кольцом .

Примеры 2-5 являются числовыми кольцами. Числовыми кольцами являются также все четные числа, а также все целые числа делящихся без остатка на некоторое натуральное число n. Отметим, что множество нечетных чисел не является кольцом т.к. сумма двух нечетных чисел является четным числом.

Как уже отмечалось, кольцо имеет перед полукольцом то преимущество, что в кольце однозначно разрешимо уравнение а + х = Ь для любых элементов кольца а и Ь. Это, в частности, и отличает кольцо целых чисел от полукольца натуральных чисел. Возможность всегда однозначно решить такое уравнение позволяет определить в кольце новую операцию - вычитание.

3.1.5. Определение. Пусть дано кольцо (К, +, ?). Для любых а,ЬеК определим b-а как решение уравнения а + х = Ь. Отображение КхК -»К , сопоставляющее всякой упорядоченной паре элементов (Ь>а) элемент b-а , называется вычитанием , а элемент b-а называется разностью элементов baa.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что элемент Ь + (-а) является решением уравнения а + х = Ь, а из единственности решения получаем b-a = b + (-а).

Используя понятие разности элементов кольца, установим еще одну характеризацию системы целых чисел, которую также можно взять в качестве ее определения.

3.1.6. Теорема. Система (К, +, ) есть система целых чисел тогда и только тогда , когда она является кольцом, содержащим полукольцо натуральных чисел {N 9 +, ), причем всякий элемент из К представим в виде разности натуральных чисел, то есть для любого а е К существуют пн п е N такие, что а = т - н .

Доказательство. (=>) Пусть К, +, ) есть система целых чисел мае К. Докажем, что элемент а представим в виде

разности натуральных чисел. По условию 2) из определения 3.1.2, К = Z = N^j{0}kj-N. EcnuaeN, то a = (a + 1)-1; если й g{0}, то а = п-п, где п е N ; если же а е -N , то а = -п и а = 1 - (п +1).

(К, +, ) содержит полукольцо натуральных чисел (N, +, ) и всякий элемент из К представим в виде

разности натуральных чисел. Докажем, что К = ;Vu{0}u-;V = Z. По условию, для любого аеК существуют т,п е N такие, что а = т -п. Но для натуральных чисел т и п имеет место одно и только одно из соотношений: либо т = п + к при некотором к е N , либо т = п , либо п = т + 1 при некотором / е N . В первом случае получаем а = т-п = к е N, во втором а = т - п = 0 € {0}, а в третьем а = т - п = -le -N. ?

Упражнения

• 1. Приведите примеры полуколец, в которых уравнение вида а + .v = h не всегда разрешимо.
• 2. Докажите, что в кольце уравнение а+х - b имеет единственное решение.
• 3. Приведите примеры колец: коммутативных и не коммутативных, с единицей и без единицы, конечных и бесконечных.
• 4. Во всяком ли кольце сложение обладает свойством сократимости (т.е. из а + с = Ь + с следует а -Ь)1 А умножение (всегда ли из ас = Ьс и с* 0 следует а = ЬУ>
• 5. Докажите, что изоморфный образ кольца целых чисел есть кольцо целых чисел.
• 6. Говорят, что кольцо (К, +, ) с единицей е имеет характеристику 0, если для любого п € Л" имеет место неравенство не * 0. Докажите, что в кольце характеристики 0 подмножество {не |« е Z J является подкольцом, изоморфным кольцу целых чисел. Отсюда получаем еще одно краткое по форме определение системы целых чисел: кольцо целых чисел ? это минимальное кольцо характеристики 0.
• 7. Пусть дано кольцо (К, +, > с единицей е. Элемент аеК называется обратимым , если для него существует обратный элемент а~" такой, что а а~ [ = а "а=е. Докажите, что множество обратимых элементов кольца замкнуто относительно умножения, ему принадлежит единица и для всякого элемента этого множества в нем существует обратный элемент. В силу этих свойств это множество называется мультипликативной группой кольца и обозначается К*. Найдите мультипликативные группы колец (Z, +, > и (?Л+, ).
• 8. Докажите, что пересечение двух подколец есть подкольцо. Найдите пересечения подколец 2Z и 3Z, 6Z и 15Z, kZ и mZ.
• 9. Подкольцо // коммутативного кольца (К, +, > называется идеалом, если оно выдерживает умножение на любой элемент кольца, т.е. если для любых h е Н

и к еК произведения kh и hk принадлежат Н . Докажите, что для любых элементов а,а 2 *...»е ЛГ, множество Н = {ka + k 2 (i 2 + -- + k n a n } является идеалом кольца (К, +, ), который обозначается через (д,а 2 »-»я я > (читается: идеал, порожденный элементами Л|,а 2 , а„). При;; = 1 такой идеал называется главным и обозначается (а,). Покажите, что mZ является главным идеалом кольца целых чисел (Z, +, >.

10. Докажите, что в кольце целых чисел всякий идеал является главным. (Указа- н и е. Если Н - ненулевой идеал кольца (Z, +, >, то Н = (т) , где т - наименьшее натуральное число в Я.)