Закон сохранения энергии механического движения. Закон изменения и сохранения полной механической энергии

Закон сохранения энергии утверждает, что энергия тела никогда не исчезает и не появляется вновь, она может лишь превращаться из одного вида в другой. Этот закон универсален. В различных разделах физики он имеет свою формулировку. Классическая механика рассматривает закон сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия замкнутой системы физических тел, между которыми действуют консервативные силы, является величиной постоянной. Так формулируется закон сохранения энергии в механике Ньютона.

Замкнутой, или изолированной, принято считать физическую систему, на которую не действуют внешние силы. В ней не происходит обмена энергией с окружающим пространством, и собственная энергия, которой она обладает, остаётся неизменной, то есть сохраняется. В такой системе действуют только внутренние силы, и тела взаимодействуют друг с другом. В ней могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и наоборот.

Простейший пример замкнутой системы – снайперская винтовка и пуля.

Виды механических сил

Силы, которые действуют внутри механической системы, принято разделять на консервативные и неконсервативные.

Консервативными считаются силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, к которому они приложены, а определяется только начальным и конечным положением этого тела. Консервативные силы называют также потенциальными . Работа таких сил по замкнутому контуру равна нулю. Примеры консервативных сил – сила тяжести, сила упругости .

Все остальные силы называются неконсервативными . К ним относятся сила трения и сила сопротивления . Их называют также диссипативными силами. Эти силы при любых движениях в замкнутой механической системе совершают отрицательную работу, и при их действии полная механическая энергия системы убывает (диссипирует). Она переходит в другие, не механические виды энергии, например, в теплоту. Поэтому закон сохранения энергии в замкнутой механической системе может выполняться, только если неконсервативные силы в ней отсутствуют.

Полная энергия механической системы состоит из кинетической и потенциальной энергии и является их суммой. Эти виды энергий могут превращаться друг в друга.

Потенциальная энергия

Потенциальную энергию называют энергией взаимодействия физических тел или их частей между собой. Она определяется их взаимным расположением, то есть, расстоянием между ними, и равна работе, которую нужно совершить, чтобы переместить тело из точки отсчёта в другую точку в поле действия консервативных сил.

Потенциальную энергию имеет любое неподвижное физическое тело, поднятое на какую-то высоту, так как на него действует сила тяжести, являющаяся консервативной силой. Такой энергией обладает вода на краю водопада, санки на вершине горы.

Откуда же эта энергия появилась? Пока физическое тело поднимали на высоту, совершили работу и затратили энергию. Вот эта энергия и запаслась в поднятом теле. И теперь эта энергия готова для совершения работы.

Величина потенциальной энергии тела определяется высотой, на которой находится тело относительно какого-то начального уровня. За точку отсчёту мы можем принять любую выбранную нами точку.

Если рассматривать положение тела относительно Земли, то потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю. А на высоте h она вычисляется по формуле:

Е п = m ɡ h ,

где m – масса тела

ɡ - ускорение свободного падения

h – высота центра масс тела относительно Земли

ɡ = 9,8 м/с 2

При падении тела c высоты h 1 до высоты h 2 сила тяжести совершает работу. Эта работа равна изменению потенциальной энергии и имеет отрицательное значение, так как величина потенциальной энергии при падении тела уменьшается.

A = - ( E п2 – E п1) = - ∆ E п ,

где E п1 – потенциальная энергия тела на высоте h 1 ,

E п2 - потенциальная энергия тела на высоте h 2 .

Если же тело поднимают на какую-то высоту, то совершают работу против сил тяжести. В этом случае она имеет положительное значение. А величина потенциальной энергии тела увеличивается.

Потенциальной энергией обладает и упруго деформированное тело (сжатая или растянутая пружина). Её величина зависит от жёсткости пружины и от того, на какую длину её сжали или растянули, и определяется по формуле:

Е п = k·(∆x) 2 /2 ,

где k – коэффициент жёсткости,

∆x – удлинение или сжатие тела.

Потенциальная энергии пружины может совершать работу.

Кинетическая энергия

В переводе с греческого «кинема» означает «движение». Энергия, которой физическое тело получает вследствие своего движения, называется кинетической. Её величина зависит от скорости движения.

Катящийся по полю футбольный мяч, скатившиеся с горы и продолжающие двигаться санки, выпущенная из лука стрела – все они обладают кинетической энергией.

Если тело находится в состоянии покоя, его кинетическая энергия равна нулю. Как только на тело подействует сила или несколько сил, оно начнёт двигаться. А раз тело движется, то действующая на него сила совершает работу. Работа силы, под воздействием которой тело из состояния покоя перейдёт в движение и изменит свою скорость от нуля до ν , называется кинетической энергией тела массой m .

Если же в начальный момент времени тело уже находилось в движении, и его скорость имела значение ν 1 , а в конечный момент она равнялась ν 2 , то работа, совершённая силой или силами, действующими на тело, будет равна приращению кинетической энергии тела.

∆ E k = E k 2 - E k 1

Если направление силы совпадает с направлением движения, то совершается положительная работа, и кинетическая энергия тела возрастает. А если сила направлена в сторону, противоположную направлению движения, то совершается отрицательная работа, и тело отдаёт кинетическую энергию.

Закон сохранения механической энергии

Е k 1 + Е п1 = Е k 2 + Е п2

Любое физическое тело, находящееся на какой-то высоте, имеет потенциальную энергию. Но при падении оно эту энергию начинает терять. Куда же она девается? Оказывается, она никуда не исчезает, а превращается в кинетическую энергию этого же тела.

Предположим, на какой-то высоте неподвижно закреплён груз. Его потенциальная энергия в этой точке равна максимальному значению. Если мы отпустим его, он начнёт падать с определённой скоростью. Следовательно, начнёт приобретать кинетическую энергию. Но одновременно начнёт уменьшаться его потенциальная энергия. В точке падения кинетическая энергия тела достигнет максимума, а потенциальная уменьшится до нуля.

Потенциальная энергия мяча, брошенного с высоты, уменьшается, а кинетическая энергия возрастает. Санки, находящиеся в состоянии покоя на вершине горы, обладают потенциальной энергией. Их кинетическая энергия в этот момент равна нулю. Но когда они начнут катиться вниз, кинетическая энергия будет увеличиваться, а потенциальная уменьшаться на такую же величину. А сумма их значений останется неизменной. Потенциальная энергия яблока, висящего на дереве, при падении превращается в его кинетическую энергию.

Эти примеры наглядно подтверждают закон сохранения энергии, который говорит о том, что полная энергия механической системы является величиной постоянной . Величина полной энергии системы не меняется, а потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот.

На какую величину уменьшится потенциальная энергия, на такую же увеличится кинетическая. Их сумма не изменится.

Для замкнутой системы физических тел справедливо равенство
E k1 + E п1 = E k2 + E п2 ,
где E k1 , E п1 - кинетическая и потенциальная энергии системы до какого-либо взаимодействия, E k2 , E п2 - соответствующие энергии после него.

Процесс преобразования кинетической энергии в потенциальную и наоборот можно увидеть, наблюдая за раскачивающимся маятником.

Нажать на картинку

Находясь в крайне правом положении, маятник словно замирает. В этот момент его высота над точкой отсчёта максимальна. Следовательно, максимальна и потенциальная энергия. А кинетическая равна нулю, так как он не движется. Но в следующее мгновение маятник начинает движение вниз. Возрастает его скорость, а, значит, увеличивается кинетическая энергия. Но уменьшается высота, уменьшается и потенциальная энергия. В нижней точке она станет равной нулю, а кинетическая энергия достигнет максимального значения. Маятник пролетит эту точку и начнёт подниматься вверх налево. Начнёт увеличиваться его потенциальная энергия, а кинетическая будет уменьшаться. И т.д.

Для демонстрации превращений энергии Исаак Ньютон придумал механическую систему, которую называют колыбелью Ньютона или шарами Ньютона .

Нажать на картинку

Если отклонить в сторону, а затем отпустить первый шар, то его энергия и импульс передадутся последнему через три промежуточных шара, которые останутся неподвижными. А последний шар отклонится с такой же скоростью и поднимется на такую же высоту, что и первый. Затем последний шар передаст свою энергию и импульс через промежуточные шары первому и т. д.

Шар, отведенный в сторону, обладает максимальной потенциальной энергией. Его кинетическая энергия в этот момент нулевая. Начав движение, он теряет потенциальную энергию и приобретает кинетическую, которая в момент столкновения со вторым шаром достигает максимума, а потенциальная становится равной нулю. Далее кинетическая энергия передаётся второму, затем третьему, четвёртому и пятому шарам. Последний, получив кинетическую энергию, начинает двигаться и поднимается на такую же высоту, на которой находился первый шар в начале движения. Его кинетическая энергия в этот момент равна нулю, а потенциальная равна максимальному значению. Далее он начинает падать и точно так же передаёт энергию шарам в обратной последовательности.

Так продолжается довольно долго и могло бы продолжаться до бесконечности, если бы не существовало неконсервативных сил. Но в реальности в системе действуют диссипативные силы, под действием которых шары теряют свою энергию. Постепенно уменьшается их скорость и амплитуда. И, в конце концов, они останавливаются. Это подтверждает, что закон сохранения энергии выполняется только в отсутствии неконсервативных сил.

Закон Сохранения Механической Энергии

Если в замкнутой системе не действуют силы, трения и силы сопротивления , то сумма кинетической и потенциальной энергии всех тел системы остается величиной постоянной .

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему , взаимодействуют между собой только посредством сил тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменениюпотенциальной энергиител, взятому с противоположным знаком:

Следовательно

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.

Это утверждение выражаетзакон сохранения энергии в механических процессах . Он является следствием законов Ньютона. СуммуE =E k +E p называютполной механической энергией . Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.

При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает, а только превращается из одной формы в другую.

b. С учётом силтрения

Присматриваясь к движению шарика, подпрыгивающего на плите (§ 102), можно обнаружить, что после каждого удара шарик поднимается на немного меньшую высоту, чем раньше (рис. 170),т. е. полная энергия не остается в точности постоянной, а понемногу убывает; это значит, что закон сохранения энергии в таком виде, как мы его сформулировали, соблюдается в этом случае только приближенно. Причина заключается в том, что в этом опыте возникают силы трения: сопротивление воздуха, в котором движется шарик, и внутреннее трение в самом материале шарика и плиты. Вообще, при наличии трения закон сохранения механической энергии всегда нарушается и сумма потенциальной и кинетической энергий тел уменьшается. За счет этой убыли энергии и совершается работа против сил трения 1).

Уменьшение высоты отскока шарика после многих отражений от плиты.

Например, при падении тела с большой высоты скорость тела, вследствие действия возрастающих сил сопротивления среды, вскоре становится постоянной (§ 68); кинетическая энергия тела перестает меняться, но его потенциальная энергия поднятия над землей уменьшается. Работу против силы сопротивления воздуха совершает сила тяжести за счет потенциальной энергии тела. Хотя при этом и сообщается некоторая кинетическая энергия окружающему воздуху, но она меньше, чем убыль потенциальной энергии тела, и, значит, суммарная механическая энергия убывает.

Работа против сил трения может совершаться и за счет кинетической энергии. Например, при движении лодки, которую оттолкнули от берега пруда, потенциальная энергия лодки остается постоянной, но вследствие сопротивления воды уменьшается скорость движения лодки, т. е. ее кинетическая энергия, и увеличение кинетической энергии воды, наблюдающееся при этом, меньше, чем убыль кинетической энергии лодки.

Подобно этому действуют и силы трения между твердыми телами. Например, скорость, которую приобретает груз, соскальзывающий с наклонной плоскости, а следовательно и его кинетическая энергия, меньше, чем та, которую он приобрел бы в отсутствие трения. Можно так подобрать угол наклона плоскости, что груз будет скользить равномерно. При этом его потенциальная энергия будет убывать, а кинетическая - оставаться постоянной, и работа против сил трения будет совершаться за счет потенциальной энергии.

В природе все движения (за исключением движений в полной пустоте, например движений небесных тел) сопровождаются трением. Поэтому при таких движениях закон сохранения механической энергии нарушается, и это нарушение происходит всегда в одну сторону - в сторону уменьшения суммарной энергии.

"Вообще, при наличии трения 1. закон сохранения механической энергии всегда нарушается и 2.сумма потенциальной и кинетической энергий тел уменьшается." Второе верно.Первое - наглая ложь ! Закон не нарушается. Dura lex sed lex.

Данный видеоурок предназначен для самостоятельного ознакомления с темой «Закон сохранения механической энергии». Вначале дадим определение полной энергии и замкнутой системы. Затем сформулируем Закон сохранения механической энергии и рассмотрим, в каких областях физики можно его применять. Также мы дадим определение работы и научимся её определять, рассмотрев связанные с ней формулы.

Темой урока является один из фундаментальных законов природы - закон сохранения механической энергии .

Мы ранее говорили о потенциальной и кинетической энергии, а также о том, что тело может обладать вместе и потенциальной, и кинетической энергией. Прежде чем говорить о законе сохранения механической энергии вспомним, что такое полная энергия. Полной механической энергией называют сумму потенциальной и кинетической энергий тела.

Также вспомним, что называют замкнутой системой. Замкнутая система - это такая система, в которой находится строго определенное количество взаимодействующих между собой тел и никакие другие тела извне на эту систему не действуют.

Когда мы определились с понятием полной энергии и замкнутой системы, можно говорить о законе сохранения механической энергии. Итак, полная механическая энергия в замкнутой системе тел, взаимодействующих друг с другом посредством сил тяготения или сил упругости (консервативных сил), остается неизменной при любом движении этих тел.

Мы уже изучали закон сохранения импульса (ЗСИ):

Очень часто случается так, что поставленные задачи можно решить только с помощью законов сохранения энергии и импульса.

Рассмотреть сохранение энергии удобно на примере свободного падения тела с некоторой высоты. Если некоторое тело находится в состоянии покоя на некоторой высоте относительно земли, то это тело обладает потенциальной энергией. Как только тело начинает свое движение, высота тела уменьшается, уменьшается и потенциальная энергия. При этом начинает нарастать скорость, появляется энергия кинетическая. Когда тело приблизилось к земле, то высота тела равна 0, потенциальная энергия тоже равна 0, а максимальной будет являться кинетическая энергия тела. Вот здесь и просматривается превращение потенциальной энергии в кинетическую (рис. 1). То же самое можно сказать о движении тела наоборот, снизу вверх, когда тело бросают вертикально вверх.

Рис. 1. Свободное падение тела с некоторой высоты

Дополнительная задача 1. «О падении тела с некоторой высоты»

Задача 1

Условие

Тело находится на высоте от поверхности Земли и начинает свободно падать. Определите скорость тела в момент соприкосновения с землей.

Решение 1:

Начальная скорость тела . Нужно найти .

Рассмотрим закон сохранения энергии.

Рис. 2. Движение тела (задача 1)

В верхней точке тело обладает только потенциальной энергией: . Когда тело приблизится к земле, то высота тела над землей будет равна 0, а это означает, что потенциальная энергия у тела исчезла, она превратилась в кинетическую:

Согласно закону сохранения энергии можем записать:

Масса тела сокращается. Преобразуя указанное уравнение, получаем: .

Окончательный ответ будет: . Если подставить все значение, то получим:.

Ответ: .

Пример оформления решения задачи:

Рис. 3. Пример оформления решения задачи № 1

Данную задачу можно решить еще одним способом, как движение по вертикали с ускорением свободного падения.

Решение 2 :

Запишем уравнение движения тела в проекции на ось :

Когда тело приблизится к поверхности Земли, его координата будет равна 0:

Перед ускорением свободного падения стоит знак «-», поскольку оно направлено против выбранной оси .

Подставив известные величины, получаем, что тело падало на протяжении времени . Теперь запишем уравнение для скорости:

Полагая ускорение свободного падения равным получаем:

Знак минус означает, что тело движется против направления выбранной оси.

Ответ: .

Пример оформления решения задачи № 1 вторым способом.

Рис. 4. Пример оформления решения задачи № 1 (способ 2)

Также для решения данной задачи можно было воспользоваться формулой, которая не зависит от времени:

Конечно, нужно отметить, что данный пример мы рассмотрели с учетом отсутствия сил трения, которые в реальности действуют в любой системе. Обратимся к формулам и посмотрим, как записывается закон сохранения механической энергии:

Дополнительная задача 2

Тело свободно падает с высоты . Определите, на какой высоте кинетическая энергия равна трети потенциальной ().

Рис. 5. Иллюстрация к задаче № 2

Решение:

Когда тело находится на высоте , оно обладает потенциальной энергией, и только потенциальной. Эта энергия определяется формулой: . Это и будет полная энергия тела.

Когда тело начинает двигаться вниз, уменьшается потенциальная энергия, но вместе с тем нарастает кинетическая. На высоте, которую нужно определить, у тела уже будет некоторая скорость V. Для точки, соответствующей высоте h, кинетическая энергия имеет вид:

Потенциальная энергия на этой высоте будет обозначена следующим образом: .

По закону сохранения энергии, у нас полная энергия сохраняется. Эта энергия остается величиной постоянной. Для точки мы можем записать следующее соотношение: (по З.С.Э.).

Вспоминая, что кинетическая энергия по условию задачи составляет , можем записать следующее: .

Обратите внимание: масса и ускорение свободного падения сокращается, после несложных преобразований мы получаем, что высота, на которой такое соотношение выполняется, составляет .

Ответ:

Пример оформления задачи 2.

Рис. 6. Оформление решения задачи № 2

Представьте себе, что тело в некоторой системе отсчета обладает кинетической и потенциальной энергией. Если система замкнутая, то при каком-либо изменении произошло перераспределение, превращение одного вида энергии в другой, но полная энергия остается по своему значению той же самой (рис. 7).

Рис. 7. Закон сохранения энергии

Представьте себе ситуацию, когда по горизонтальной дороге движется автомобиль. Водитель выключает мотор и продолжает движение уже с выключенным мотором. Что в этом случае происходит (рис. 8)?

Рис. 8. Движение автомобиля

В данном случае автомобиль обладает кинетической энергией. Но вы прекрасно знаете, что с течением времени автомобиль остановится. Куда девалась в этом случае энергия? Ведь потенциальная энергия тела в данном случае тоже не изменилась, она была какой-то постоянной величиной относительно Земли. Как произошло изменение энергии? В данном случае энергия пошла на преодоление сил трения. Если в системе встречается трение, то оно также влияет на энергию этой системы. Посмотрим, как записывается в данном случае изменение энергии.

Изменяется энергия, и это изменение энергии определяется работой против силы трения. Определить работу силы трения мы можем с помощью формулы, которая известна из 7 класса (сила и перемещение направлены противоположно):

Итак, когда мы говорим об энергии и работе, то должны понимать, что каждый раз мы должны учитывать и то, что часть энергии расходуется на преодоление сил трения. Совершается работа по преодолению сил трения. Работа является величиной, которая характеризует изменение энергии тела.

В заключение урока хотелось бы сказать, что работа и энергия по сути своей связанные величины через действующие силы.

Дополнительная задача 3

Два тела - брусок массой и пластилиновый шарик массой - движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями (). После столкновения пластилиновый шарик прилип к бруску, два тела продолжают движение вместе. Определить, какая часть механической энергии превратилась во внутреннюю энергию этих тел, с учетом того что масса бруска в 3 раза больше массы пластилинового шарика ().

Решение:

Изменение внутренней энергии можно обозначить . Как вы знаете, существует несколько видов энергии. Кроме механической, существует еще и тепловая, внутренняя энергия.

При имеющейся замкнутой механической системе тела взаимодействуют посредством сил тяготения и упругости, тогда их работа равняется изменению потенциальной энергии тел с противоположным знаком:

A = – (E р 2 – E р 1) .

Следуя из теоремы о кинетической энергии, формула работы примет вид

A = E k 2 - E k 1 .

Отсюда следует, что

E k 2 - E k 1 = – (E р 2 – E р 1) или E k 1 + E p 1 = E k 2 + E p 2 .

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел , составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной .

Данное утверждение выражает закон сохранения энергии в замкнутой системе и в механических процессах, являющийся следствием законов Ньютона.

Определение 2

Закон сохранения энергии выполняется при взаимодействии сил с потенциальными энергиями в замкнутой системе.

Пример N

Примером применения такого закона служит нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимости нити, которая удерживает тесло с массой m , вращая его вертикально относительно плоскости (задачи Гюйгенса). Подробное решение изображено на рисунке 1 . 20 . 1 .

Рисунок 1 . 20 . 1 . К задаче Гюйгенса, где F → принимается за силу натяжения нити в нижней точке траектории.

Запись закона сохранения полной энергии в верхней и нижней точках принимает вид

m v 1 2 2 = m v 2 2 2 + m g 2 l .

F → располагается перпендикулярно скорости тела, отсюда следует вывод, что она не совершает работу.

Если скорость вращения минимальная, то натяжение нити верхней точке равняется нулю, значит, центростремительное ускорение может быть сообщено только при помощи силы тяжести. Тогда

m v 2 2 l = m g .

Исходя из соотношений, получаем

v 1 m i n 2 = 5 g l .

Создание центростремительного ускорения производится силами F → и m g → с противоположными направлениями относительно друг друга. Тогда формула запишется:

m v 1 2 2 = F - m g .

Можно сделать вывод, что при минимальной скорости тела в верхней точке натяжение нити будет равняться по модулю значению F = 6 m g .

Очевидно, что прочность нити обязана превышать значение.

С помощью закона сохранения энергии посредством формулы можно получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках траектории, не используя анализ закона движения тела во всех промежуточных точках. Данный закон позволяет заметно упрощать решение задач.

Реальные условия для движущихся тел предполагают действия сил тяготения, упругости, трения и сопротивления данной среды. Работа силы трения зависит от длины пути, поэтому она не является консервативной.

Между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, тогда механическая энергия не сохраняется, ее часть переходит во внутреннюю. Любые физические взаимодействия не провоцируют возникновение или исчезновение энергии. Она переходит из одной формы в другую. Данный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии .

Следствием является утверждение о невозможности создания вечного двигателя (perpetuum mobile) – машины, которая совершала бы работу и не расходовала энергию.

Рисунок 1 . 20 . 2 . Проект вечного двигателя. Почему данная машина не будет работать?

Существует большое количество таких проектов. Они не имеют право на существование, так как при расчетах отчетливо видны одни ошибки конструкций всего прибора, другие замаскированы. Попытки реализовать такую машину тщетны, так как они противоречат закону сохранения и превращения энергии, поэтому нахождение формулы не даст результатов.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

1.7. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Формулировка закона сохранения механической энергии. Формулировка в случае наличия диссипативных сил. Графическое представление энергии. Финитное и инфинитное движения. Абсолютно упругий удар. Абсолютно неупругий удар.

Полная механическая энергия системы - энергия механического движения и взаимодействия, т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем. Это -фундаментальный закон природы. Он является следствием однородности времени - инвариантности физических законов относительно выбора начала отсчета времени. Все силы в механике принято разделять на консервативные и неконсервативные . Консервативными называются силы, работа которых не зависит от формы траектории (пути) между двумя точками, а зависит только от начального и конечного положений тела относительно другого. Иначе говоря, работа консервативных сил по замкнутой траектории равна нулю. Примером консервативных сил являются сила тяжести, сила упругости и т.д. К ним, прежде всего, относятся диссипативные силы (преобразующие механическую энергию в другие виды энергии), например, сила трения. Если есть изменение, то равна работе диссипативных сил. Финитное – движение точек в ограниченной области пространства. Инфинитное – тело уходит на бесконечность. Абсолютно упругий удар - столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию. законы сохранения импульса и сохранения механической энергии выполняются . Абсолютно неупругий удар - столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое тело. Не выполняется закон сохранения механической энергии: вследствие деформации часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию тел (разогрев).

Введем понятие полной механической энергии частицы. Приращение кинетической энергии частицы равно элементарной работе результирующей всех сил, действующих на частицу. Если частица находится в потенциальном поле, то на нее действует консервативная сила со стороны этого потенциального поля. Кроме того, на частицу могут действовать и другие силы, имеющие иное происхождение. Назовем их сторонними силами .

Таким образом, результирующая всех сил, действующих на частицу, может быть представлена в виде . Работа всех этих сил идет на приращение кинетической энергии частицы:

Согласно (6.7), работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы, т. е. . Подставив это выражение в предыдущее и перенеся член влево, получим

Отсюда видно, что работа сторонних сил идет на приращениe величины . Эту величину - сумму кинетичеcкой и потенциальной энергии - называют полной механической энергией частицы в поле :

на конечном перемещении из точки 1 в точку 2

т.е . приращение полной механической энергии частицы на некотором пути равно алгебраической сумме работ всех сторонних сил , действующих на частицу на том же пути. Если , то полная механическая энергия частицы увеличивается, если же , то уменьшается.

Полная механическая энергия частицы может измениться под действием только сторонних сил. Отсюда непосредственно вытекает закон сохранения полной механической энергии частицы во внешнем поле: если сторонние силы отсутствуют или таковы, что алгебраическая сумма их мощностей равна нулю в течение интересующего нас времени, то полная механическая энергия частицы остается постоянной за это время . Иначе говоря,

Уже в такой простейшей форме данный закон сохранения позволяет достаточно легко получать ответы на ряд важных вопросов без привлечения уравнений движения, что, как мы знаем, часто сопряжено с проведением громоздких и утомительных расчетов. Именно это обстоятельство и превращает законы сохранения в весьма действенный инструмент исследования.

Проиллюстрируем возможности и преимущества, которые дает применение закона сохранения (7.4), на следующем примере.

Пример. Пусть частица движется в одномерном потенциальном поле U (х. Если сторонние силы отсутствуют, то полная механическая энергия частицы в данном поле, т. е. Е, не меняется в процессе движения, и мы можем просто решить, например, такие вопросы, как:

1. Определить, не решая основного уравнения динамики, v (х) - скорость частицы в зависимости от ее координаты. Для этого достаточно знать, согласно уравнению (7.4) , конкретный вид потенциальной кривой U (х) и значение полной энергии Е (правая часть данного уравнения).

2. Установить область изменения координаты х частицы, в которой она может находиться при заданном значении полной энергии Е. Ясно, что в область, где U > Е, частица попасть не может, поскольку потенциальная энергия U частицы не может превышать ее полную энергию. Отсюда сразу следует, что при (рис. 7.1) частица может двигаться в области

между координатами (совершает колебания) или правее координаты . Перейти же из первой области во вторую (или обратно) частица не может: этому препятствует потенциальный барьер, разделяющий обе эти области. Заметим, что когда частица движется в ограниченной области поля, говорят, что она находится в потенциальной яме, в нашем случае - между .

Иначе ведет себя частица при (рис. 7.1): для нее доступна вся область правее . Если в начальный момент частица находилась в точке , то в дальнейшем она будет двигаться вправо. Определение изменения кинетической энергия частицы в зависимости от ее положения х может послужить полезным самостоятельным упражнением.

До сих пор мы ограничивались рассмотрением поведения одной частицы с энергетической точки зрения. Теперь перейдем к системе частиц. Это может быть любое тело, газ, любой механизм, Солнечная система и т. д.

В общем случае частицы системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в данную систему. Систему частиц, на которую не действуют никакие посторонние тела или их воздействие пренебрежимо мало, называют замкнутой или изолированной. Понятие замкнутой системы является естественным обобщением понятия изолированной материальной точки и играет важную роль в физике.

Введем понятие потенциальной энергии системы частиц. Рассмотрим замкнутую систему, между частицами которой действуют только центральные силы, т. е. силы, зависящие при данном характере взаимодействия только от расстояния между ними и направленные по прямой, их соединяющей.

Покажем, что в любой системе отсчета работа всех этих сил при переходе системы частиц из одного положения в другое может быть представлена как убыль некоторой функции, зависящей при данном характере взаимодействия только от конфигурации самой системы или от относительного расположения ее частиц. Эту функцию назовем собственной потенциальной энергией системы, в отличие от внешней потенциальной энергии, характеризующей взаимодействие данной системы с другими телами.

Первоначально рассмотрим систему из двух частиц. Вычислим элементарную работу сил, с которыми эти частицы взаимодействуют между собой. Пусть в произвольной системе отсчета в некоторый момент времени положение частиц определяется радиус-векторами и . Если за время dt частицы совершили перемещения и соответственно, то работа сил взаимодействия и равна

Теперь учтем, что, согласно третьему закону Ньютона , поэтому предыдущее выражение можно переписать так:

Введем вектор , характеризующий положение 1-й частицы относительно 2-й. Тогда и после подстановки в выражение для работы получим

.

Сила - центральная, поэтому работа этой силы равна убыли потенциальной энергии взаимодействия данной пары частиц, т. е.

Так как функция зависит только от расстояния между частицами, то ясно, что работа не зависит от выбора системы отсчета.

Теперь рассмотрим систему из трех частиц, так как полученный в этом случае результат легко обобщить и на систему из произвольного числа частиц. Элементарная работа, которую совершают все силы взаимодействия при элементарном перемещении всех частиц, может быть представлена как сумма элементарных работ всех трех пар взаимодействий, т. е.

Но для каждой пары взаимодействий, как было показано , поэтому

где функция есть собственная потенциальная энергия данной системы частиц:

Так как каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния между соответствующими частицами, то очевидно, что собственная потенциальная энергия U данной системы зависит от относительного расположения частиц в один и тот же момент времени, или, другими словами, от конфигурации системы.

Подобные рассуждения справедливы и для системы из любого числа частиц. Поэтому можно утверждать, что каждой конфигурации произвольной системы частиц присуща своя собственная потенциальная энергия U , и работа всех центральных внутренних сил при изменении конфигурации системы равна убыли собственной потенциальной энергии системы, т. е.

а при конечном перемещении всех частиц системы

где и -значения потенциальной энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Собственная потенциальная энергия системы U - величина неаддитивная, т. е. она не равна в общем случае сумме собственных потенциальных энергий ее частей. Необходимо учесть еще потенциальную энергию взаимодействия отдельных частей системы

где - собственная потенциальная энергия части системы.

Следует также иметь в виду, что собственная потенциальная энергия системы, как и потенциальная энергия взаимодействия каждой пары частиц, определяется с точностью до прибавления произвольной постоянной, которая, впрочем, и здесь совершенно несущественна.

В заключение приведем полезные формулы для расчета собственной потенциальной энергии системы. Прежде всего покажем, что эта энергия может быть представлена как.

где - потенциальная энергия взаимодействия частицы со всеми остальными частицами системы. Здесь сумма берется по всем частицам системы. Убедимся в справедливости этой формулы сначала для системы из трех частиц. Выше было показано, что собственная потенциальная энергия данной системы Преобразуем эту сумму следующим образом. Представим каждое слагаемое в симметричном виде: , ибо ясно, что . Тогда

Сгруппируем члены с одинаковым первым индексом:

Каждая сумма в круглых скобках представляет собой потенциальную энергию взаимодействия частицы с остальными двумя. Поэтому последнее выражение можно переписать так:

что полностью соответствует формуле (7.8).

Обобщение полученного результата на произвольную систему очевидно, ибо ясно, что подобные рассуждения совершенно не зависят от числа частиц, составляющих систему.

Для системы, взаимодействие между частицами которой носит гравитационный или кулоновский характер, формулу (7.8) можно преобразовать и к другому виду, воспользовавшись понятием потенциала. Заменим в (7.8) потенциальную энергию частицы выражением , где - масса (заряд) частицы, а - потенциал, создаваемый всеми остальными частицами системы в точке нахождения частицы.

где -объемная плотность массы или заряда, -элемент объема. Здесь интегрирование проводится по всему объему, занимаемому массами или зарядами.

Проведем классификацию сил по их свойствам. Известно, что частицы рассматриваемой системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в данную систему. В соответствии с этим силы взаимодействия между частицами системы называют внутренними , а силы, обусловленные действием других тел, не входящих в данную систему, - внешними. В неинерциальной системе отсчета к последним нужно относить и силы инерции.

Кроме того, все силы делят на потенциальные и непотенциальные . Потенциальными называют силы, зависящие при данном характере взаимодействия только от конфигурации механической системы. Работа этих сил, как было показано, равна убыли потенциальной энергии системы. К непотенциальным силам относятся так называемые диссипативные силы - это силы трения и сопротивления, а также энергетические силы, вызывающие увеличение механической энергии системы за счет других видов энергии (например, взрыв артиллерийского снаряда). Важной особенностью данных сил является то, что суммарная работа внутренних диссипативных сил рассматриваемой системы отрицательна, а энергетических сил - положительна, причем в любой системе отсчета. Докажем это для диссипативных сил.

Любая диссипативная сила может быть представлена в виде

где - скорость данного тела относительно другого тела (или среды), с которым оно взаимодействует; - положительный коэффициент, зависящий в общем случае от скорости . Сила всегда направлена противоположно вектору . В зависимости от выбора системы отсчета работа этой силы может быть как положительной, так и отрицательной. Суммарная же работа всех внутренних диссипативных сил - величина всегда отрицательная . Переходя к доказательству этого, отметим прежде всего, что внутренние диссипативные силы в данной системе будут встречаться попарно, причем в каждой паре, согласно третьему закону Ньютона, они одинаковы по модулю и противоположны по направлению. Найдем элементарную работу произвольной пары диссипативных сил взаимодействия между телами 1 и 2 в системе отсчета, где скорости этих тел в данный момент равны :

Теперь учтем, что - скорость тела 1 относительно тела 2 , а также то, что . Тогда выражение для работы преобразуется так:

Отсюда видно, что работа произвольной пары внутренних диссипативных сил взаимодействия всегда отрицательна, а значит и суммарная работа всех пар внутренних диссипативных сил также всегда отрицательна. Таким образом, действительно,

Теперь можно сформулировать закон сохранения полной механической энергии системы частиц. Выше было показано, что приращение кинетической энергии системы равно работе, которую совершают все силы, действующие на все частицы системы. Разделив эти силы на внешние и внутренние, а внутренние, в свою очередь,- на потенциальные и непотенциальные, запишем предыдущее утверждение так:

Теперь учтем, что работа внутренних потенциальных сил равна убыли собственной потенциальной энергии системы, т.е.

Тогда предыдущее выражение примет вид

Очевидно, энергия Е зависит от скоростей частицы системы, характера взаимодействия между ними и конфигурации системы. Кроме того, энергия Е, как и потенциальная энергия U , определяется с точностью до прибавления несущественной произвольной постоянной и является величиной неаддитивной , т. е. энергия Е системы не равна в общем случае сумме энергий ее отдельных частей. В соответствии c (7.7)

где - механическая энергия части системы, - потенциальная энергия взаимодействия ее отдельных частей.

Вернемся к формуле (7.16). Перепишем ее с учетом (7.17) в виде